No estudo do átomo de hidrogênio, as funções de onda psin l m são descritas por três números quânticos: n (principal), l (azimutal) e m (magnético). Para um dado valor de n, os possíveis valores de l variam de 0 até n-1, e para um dado valor de l, os valores de m variam de -l até +l, ou seja, m= -l,-l+1, ldots, l-1, l.
Prove, por indução, que o número total de funções de onda possíveis psin l m para um dado valor de n é n^2. Além disso, mostre que esse número é o mesmo que a degenerescência dos níveis de energia do átomo de hidrogênio, ou seja, o número de estados quânticos possíveis para cada nível de energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente está estudando as funções de onda do átomo de hidrogênio, que são descritas por três números quânticos: n (principal), l (azimutal) e m (magnético). O exercício pede pra provar por indução que, para um valor fixo de n, o número total de funções de onda psin l m é igual a n^2. Além disso, queremos mostrar que esse número corresponde à degenerescência dos níveis de energia do átomo de hidrogênio, ou seja, quantos estados quânticos existem para cada nível de energia.
Para resolver, vamos precisar entender como os números quânticos l e m variam para um dado n e contar todas as combinações possíveis deles.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com a base da indução, que é o caso mais simples: quando n = 1.
  • Para n = 1:
    • l pode variar de 0 até n-1, ou seja, l = 0.
    • Para l = 0, m pode variar de -l até +l, ou seja, m = 0.
Então, só tem uma combinação possível: (n=1, l=0, m=0). Portanto, o número total de funções de onda é 1, e n^2 = 1^2 = 1. A base da nossa indução está ok!

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para um certo valor n = k. Isso é a nossa hipótese de indução.
  • Hipótese de indução:
    • Para qualquer n = k, o número total de funções de onda psik l m é k^2.
Ou seja, se a gente tem k como nosso número principal, então existem k^2 combinações possíveis de l e m.

Passo 4

Vamos agora provar que se a hipótese é verdadeira para n = k, ela também é verdadeira para n = k + 1.
  • Para n = k + 1:
    • l varia de 0 até k (porque vai de 0 até n-1).
    • Para cada valor de l, m varia de -l até +l, o que dá 2l + 1 possíveis valores para m.
Então, para cada l, temos 2l + 1 funções de onda. Vamos somar isso para todos os l de 0 a k:
Total para n = k + 1 = suml=0^k (2l + 1)
Vamos calcular essa soma:
suml=0^k (2l + 1) = 2suml=0^k l + suml=0^k 1 = 2 ( k(k+1)2 ) + (k + 1) = k(k+1) + (k + 1) = (k + 1)(k + 1) = (k + 1)^2
Então, provamos que para n = k + 1, o número total de funções de onda é (k + 1)^2, que é exatamente o que queríamos mostrar.

Passo 5

Já que provamos a base da indução para n = 1 e mostramos que se a afirmação vale para n = k, ela também vale para n = k + 1, podemos concluir, pelo princípio da indução matemática, que para todo n >= 1, o número total de funções de onda psin l m é n^2.

Passo 6

Agora, vamos conectar isso com a degenerescência dos níveis de energia do átomo de hidrogênio. A degenerescência se refere ao número de estados quânticos que têm a mesma energia.
No átomo de hidrogênio, todos os estados com o mesmo n têm a mesma energia, independentemente dos valores de l e m. Como mostramos que há n^2 combinações possíveis de l e m para cada n, isso significa que cada nível de energia tem uma degenerescência de n^2. Ou seja, existem n^2 estados quânticos com a mesma energia para cada valor de n.

Resposta

Portanto, provamos por indução que para qualquer valor de n, o número total de funções de onda psin l m é n^2, e esse número corresponde à degenerescência dos níveis de energia no átomo de hidrogênio.

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