No estudo do átomo de hidrogênio, as funções de onda
são descritas por três números quânticos:
(principal),
(azimutal) e
(magnético). Para um dado valor de
, os possíveis valores de
variam de 0 até
, e para um dado valor de
, os valores de
variam de
até
, ou seja,
.
Prove, por indução, que o número total de funções de onda possíveis
para um dado valor de
é
. Além disso, mostre que esse número é o mesmo que a degenerescência dos níveis de energia do átomo de hidrogênio, ou seja, o número de estados quânticos possíveis para cada nível de energia.
Prove, por indução, que o número total de funções de onda possíveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente está estudando as funções de onda do átomo de hidrogênio, que são descritas por três números quânticos:
(principal),
(azimutal) e
(magnético). O exercício pede pra provar por indução que, para um valor fixo de
, o número total de funções de onda
é igual a
. Além disso, queremos mostrar que esse número corresponde à degenerescência dos níveis de energia do átomo de hidrogênio, ou seja, quantos estados quânticos existem para cada nível de energia.
Para resolver, vamos precisar entender como os números quânticos
e
variam para um dado
e contar todas as combinações possíveis deles.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com a base da indução, que é o caso mais simples: quando
.
- Para
: -
pode variar de 0 até , ou seja, . - Para
, pode variar de até , ou seja, .
-
Então, só tem uma combinação possível:
. Portanto, o número total de funções de onda é 1, e
. A base da nossa indução está ok!
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para um certo valor
. Isso é a nossa hipótese de indução.
- Hipótese de indução:
- Para qualquer
, o número total de funções de onda é .
- Para qualquer
Ou seja, se a gente tem
como nosso número principal, então existem
combinações possíveis de
e
.
Passo 4
Vamos agora provar que se a hipótese é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
- Para
: -
varia de 0 até (porque vai de 0 até ). - Para cada valor de
, varia de até , o que dá possíveis valores para .
-
Então, para cada
, temos
funções de onda. Vamos somar isso para todos os
de 0 a
:
Vamos calcular essa soma:
Então, provamos que para
, o número total de funções de onda é
, que é exatamente o que queríamos mostrar.
Passo 5
Já que provamos a base da indução para
e mostramos que se a afirmação vale para
, ela também vale para
, podemos concluir, pelo princípio da indução matemática, que para todo
, o número total de funções de onda
é
.
Passo 6
Agora, vamos conectar isso com a degenerescência dos níveis de energia do átomo de hidrogênio. A degenerescência se refere ao número de estados quânticos que têm a mesma energia.
No átomo de hidrogênio, todos os estados com o mesmo
têm a mesma energia, independentemente dos valores de
e
. Como mostramos que há
combinações possíveis de
e
para cada
, isso significa que cada nível de energia tem uma degenerescência de
. Ou seja, existem
estados quânticos com a mesma energia para cada valor de
.
Resposta
Portanto, provamos por indução que para qualquer valor de
, o número total de funções de onda
é
, e esse número corresponde à degenerescência dos níveis de energia no átomo de hidrogênio.