Um pesquisador está comparando dois tipos de ração para frangos de corte: Ração X e Ração Y. O objetivo é avaliar o ganho de peso médio dos frangos após 30 dias de tratamento. Foram coletados os seguintes dados:
Ração X Ração Y
Média do ganho de peso \left(X_{X}\right)
1,8 \mathrm{~kg}
Média do ganho de peso \left(X_{Y}\right)
2,1 \mathrm{~kg}
Desvio padrão \left(s_{X}\right) Desvio padrão \left(s_{Y}\right)
0,4 \mathrm{~kg} 0,5 \mathrm{~kg}
Tamanho da amostra \left(n_{X}\right)
20 frangos
Tamanho da amostra \left(n_{Y}\right)
22 frangos
Calcule um intervalo de confiança de 95 \% para a diferença entre as médias do ganho de peso dos frangos alimentados com Ração X e Ração Y, considerando variâncias homogêneas. Você diria que uma ração é superior a outra?

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95 % para a diferença entre as médias de ganho de peso dos frangos alimentados com Ração X e Ração Y, assumindo variâncias iguais. Temos as seguintes informações: \bar X_X = 1,8 kg, \bar X_Y = 2,1 kg, s_X = 0,4 kg, s_Y = 0,5 kg, n_X = 20, n_Y = 22. Iremos usar a distribuição t com variância poolada para construir \mu_X - \mu_Y \pm t_{\alpha/2,\,n_X+n_Y-2}\cdot\mathrm{SE}(\bar X_X-\bar X_Y).

Passo 2

Calcular a variância poolada \displaystyle s_p^2 pela fórmula
s_p^2 = \frac{(n_X-1)\,s_X^2 + (n_Y-1)\,s_Y^2}{n_X + n_Y - 2}.
Substituindo,
s_p^2 = \frac{19\cdot(0,4)^2 + 21\cdot(0,5)^2}{20 + 22 - 2} = \frac{19\cdot0,16 + 21\cdot0,25}{40} = \frac{3,04 + 5,25}{40} = 0,20725.
Logo s_p = \sqrt{0,20725}\approx 0,4553 kg.

Passo 3

Determinar o erro padrão da diferença de médias:
\mathrm{SE}(\bar X_X-\bar X_Y) = s_p \,\sqrt{\frac{1}{n_X} + \frac{1}{n_Y}} = 0,4553\sqrt{\frac{1}{20} + \frac{1}{22}} \approx 0,4553\sqrt{0,09545} \approx 0,4553\cdot0,30899 \approx 0,1406\text{ kg}.

Passo 4

O grau de liberdade é
\nu = n_X + n_Y -2 = 20 + 22 -2 = 40.
Para confiança de 95 %, t_{0,025,40}\approx 2,021.

Passo 5

O valor da diferença amostral é
\bar X_X - \bar X_Y = 1,8 - 2,1 = -0,3\text{ kg}.
A margem de erro é
E = t_{0,025,40}\,\mathrm{SE} \approx 2,021 \times 0,1406 \approx 0,2842\text{ kg}.
Assim o intervalo de confiança é
-0,3 \pm 0,2842 \quad\Longrightarrow\quad [-0,5842;\,-0,0158]\text{ kg}.

Passo 6

Como todo o intervalo é negativo (não inclui zero), concluímos que \mu_X - \mu_Y < 0, isto é, a média de ganho de peso com Ração X é significativamente menor que com Ração Y. Logo, Ração Y é superior.

Resposta

O intervalo de confiança de 95 % para \mu_X - \mu_Y é aproximadamente
[-0,58;\,-0,02]\text{ kg}.
Como o intervalo não contém zero e é negativo, a Ração Y apresenta ganho de peso médio superior à Ração X.

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