Num estudo comparativo do insucesso escolar entre alunos cujos pais são divorciados, e alunos com vida familiar “regular”, verificou-se uma taxa de insucesso escolar de 40 \% e 35 \% respectivamente. Selecionaram-se ao acaso dois grupos de estudantes tendo-se observado 35 alunos com pais divorciados e 80 estudantes com família "regular’’. Qual é a probabilidade de a proporção de alunos com insucesso escolar ser maior no grupo de estudantes com pais divorciados do que no grupo de estudantes com família regular?

Passo 1

O enunciado compara duas proporções de insucesso escolar:
– grupo 1 (pais divorciados) com n_{1}=35 e proporção verdadeira p_{1}=0,40,
– grupo 2 (família regular) com n_{2}=80 e proporção verdadeira p_{2}=0,35.
Queremos a probabilidade de \hat p_{1}>\hat p_{2}. O método usa a aproximação normal da diferença de proporções pelo Teorema do Limite Central.

Passo 2

Modelamos \hat p_{1} e \hat p_{2} como aproximadas por distribuições normais:
\hat p_{1}\sim N\Bigl(p_{1},\,\frac{p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}\Bigr) \quad\text{e}\quad \hat p_{2}\sim N\Bigl(p_{2},\,\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}\Bigr).

Passo 3

A diferença \hat D=\hat p_{1}-\hat p_{2} é então
\hat D\sim N\Bigl(p_{1}-p_{2},\;\frac{p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}+\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}\Bigr).
Logo a média é
\mu_{D}=p_{1}-p_{2}=0,40-0,35=0,05,
e a variância é
\sigma_{D}^{2} = \frac{0,40\cdot0,60}{35}+\frac{0,35\cdot0,65}{80}.

Passo 4

Calculando numericamente:
\frac{0,40\cdot0,60}{35} = \frac{0,24}{35}\approx0,006857, \quad \frac{0,35\cdot0,65}{80} = \frac{0,2275}{80}\approx0,002844,
\sigma_{D}^{2}\approx0,006857+0,002844=0,009701, \quad \sigma_{D}=\sqrt{0,009701}\approx0,0985.

Passo 5

Queremos
P(\hat D>0) = P\Bigl(Z>\frac{0-0,05}{0,0985}\Bigr) \quad\text{com}\quad Z\sim N(0,1).
O valor do Z é
z = \frac{-0,05}{0,0985}\approx -0,5076,
então
P(\hat D>0)=P(Z>-0,5076)=P(Z<0,5076)\approx0,6939.

Resposta

A probabilidade pedida é aproximadamente 0,694 (ou 69{,}4\%).

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