Um estudo de eficiência realizada no turno da manhã (das 8 h até 12 h ) revela que um operário que inicia sua jornada às 8 h produziu Q=(-t^3+ 4,5 t^2+15 t ) unidades mais tarde. A produtividade consiste na taxa de variação instantânea de Q em relação ao tempo t.
Em que momento no turno da manhã sua produtividade será mínima?

Passo 1

O enunciado dá a produção acumulada
Q(t) = -t^3 + 4,5,t^2 + 15,t
onde t é o tempo em horas desde as 8 h, e define a produtividade como
P(t) = dQdt,
O objetivo é achar em que tin[0,4] essa produtividade atinge seu valor mínimo.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de Q(t). Como
Q(t) = -t^3 + 4,5,t^2 + 15,t,
temos
P(t) = Q'(t) = -3,t^2 + 9,t + 15

Passo 3

Para estudar os extremos de P(t), observamos que
P'(t) = dPdt = -6,t + 9
Resolvendo P'(t)=0
-6,t + 9 = 0 Longrightarrow t = 96 = 1,5 h,
mas como o coeficiente de P(t) em t^2 é -3<0, esse ponto é máximo de produtividade, não mínimo.

Passo 4

Concluímos que o menor valor de P(t) ocorre nas extremidades do intervalo [0,4]. Calculamos:
P(0) = -3cdot0^2 + 9cdot0 + 15 = 15,
P(4) = -3cdot4^2 + 9cdot4 + 15 = -48 + 36 + 15 = 3
O valor mínimo é P(4)=3.

Resposta

A produtividade é mínima no final do turno da manhã, ou seja, em t=4 h após as 8 h, isto é, às 12 h.

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