Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, a demanda é de x centenas de unidades, onde x^2+3 p x+p^2=79. Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo se o preço unitário é de R 5,00$ e está diminuindo à taxa de 30 centavos por mês?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre a demanda x (em centenas de unidades) e o preço unitário p (em reais):
x^2 + 3,p,x + p^2 = 79
Pede-se a taxa dfracdxdt quando p=5 e dfracdpdt=-0,30 (reais por mês). O conteúdo principal é taxas de variação e diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, achamos x quando p=5. Substituindo em
x^2 + 3cdot5cdot x + 5^2 =79
temos
x^2 +15x +25 -79 =0 ;Longrightarrow; x^2 +15x -54 =0
As raízes são
x = -15 pm raiz15^2 +4cdot542 = -15 pm raiz4412 = -15 pm 212
Como x é não negativo, escolhemos
x = -15 +212 =3

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a t:
ddtl(x^2r) + ddtl(3pxr) + ddtl(p^2r) = 0
Isto dá
2x,dxdt +3l(p,dxdt + x,dpdtr) +2p,dpdt =0

Passo 4

Agrupando termos em dfracdxdt,
l(2x +3pr)dxdt + l(3x +2pr)dpdt =0 Longrightarrow dxdt = -3x +2p2x +3p,dpdt
Substituindo x=3, p=5 e dfracdpdt=-0,30,
dxdt = -3cdot3 +2cdot52cdot3 +3cdot5,(-0,30) = -9+106+15,(-0,30) = 1921times0,30 = 1970approx0,2714
(in centenas de unidades por mês ).

Resposta

dxdt = 1970 centenas de unidades por mês approx 0,2714 centenas/mês êê
ou seja, cerca de 27,14 unidades por mês.

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