A expressão para a carga que entra no terminal de um elemento é: q=\frac{1}{a^{2}}-\left(\frac{t}{a}+\frac{1}{a^{2}}\right) \cdot e^{-a t}. Sabendo que a=0,03679 \mathrm{~s}^{-1}, determine se a corrente que entra no terminal atinge valor máximo ou mínimo. Qual o instante que isto ocorre?

Passo 1

O enunciado nos dá a carga que entra no terminal de um elemento como
q(t)=\frac{1}{a^{2}}-\Bigl(\frac{t}{a}+\frac{1}{a^{2}}\Bigr)e^{-a t},
sendo a=0,03679\\ \mathrm{s}^{-1}. Precisamos encontrar a corrente que entra no terminal, que é a derivada de q(t), e depois verificar se essa corrente atinge um valor máximo ou mínimo e em que instante isso ocorre.

Passo 2

A corrente é
i(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.
Como o primeiro termo 1/a^{2} é constante, sua derivada é zero. Para o segundo termo usamos a regra do produto. Definindo
u(t)=\frac{t}{a}+\frac{1}{a^{2}}, \quad v(t)=e^{-a t},
temos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[u(t)\,v(t)\bigr] =u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t) =\frac{1}{a}e^{-a t}+\Bigl(\frac{t}{a}+\frac{1}{a^{2}}\Bigr)\bigl(-a e^{-a t}\bigr).
Isso simplifica para
e^{-a t}\Bigl(\frac{1}{a}-t-\frac{1}{a}\Bigr) =-t\,e^{-a t}.
Como há um sinal negativo na frente desse produto no q(t), obtemos
i(t)=t\,e^{-a t}.

Passo 3

Para achar o extremo de i(t), calculamos
\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(t\,e^{-a t}\bigr) =e^{-a t}-a\,t\,e^{-a t} =e^{-a t}(1-a t).
Colocando \mathrm{d}i/\mathrm{d}t=0 vem
1-a t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{a}.

Passo 4

Para classificar o extremo, avaliamos a segunda derivada ou observamos o comportamento de \mathrm{d}i/\mathrm{d}t: para t<1/a, 1-a t>0 e \mathrm{d}i/\mathrm{d}t>0, e para t>1/a, 1-a t<0 e \mathrm{d}i/\mathrm{d}t<0. Logo i(t) cresce até t=1/a e decai depois, caracterizando um máximo em
t=\frac{1}{a}.
Numericamente,
t=\frac{1}{0,03679}\approx27,18\\ \mathrm{s}.

Resposta

A corrente que entra no terminal atinge um valor máximo no instante
t=\frac{1}{a}\approx27,18\\ \mathrm{s}.

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