Um estudo de engenharia ambiental analisou o número de descargas diárias de efluentes em um pequeno rio, representado pela variável aleatória X, que pode assumir apenas quatro valores. A função de probabilidade de X está apresentada na tabela abaixo:
x 0 1 2 3
P(X=x) 0,1 0,3 0,4 0,2
Qual é a mediana do número de descargas?

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória X que assume os valores 0,1,2,3 com probabilidades indicadas na tabela. Pergunta-se: qual é a mediana do número de descargas?
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
P(X=0)=0,1,\quad P(X=1)=0,3,\quad P(X=2)=0,4,\quad P(X=3)=0,2.

Passo 2

O que é mediana para uma variável aleatória discreta? Vou explicar devagar: a mediana é um valor m tal que pelo menos metade da probabilidade está em valores menores ou iguais a m. Em fórmulas comuns usamos a definição “menor m que satisfaça”
P(X \le m)\ge 0,5.
Isso faz sentido: a mediana divide a distribuição de modo que pelo menos 50\% da massa esteja à esquerda (ou igual) de m. Em distribuições discretas pode existir mais de um m que cumpra isso, mas em geral escolhemos o menor valor que cruza a marca de 0,5.

Passo 3

Vamos calcular as probabilidades cumulativas progressivamente e ver quando ultrapassamos 0,5.
Primeiro calcule P(X\le 0):
P(X\le 0)=P(X=0)=0,1.
Isso é menor que 0,5, então m ainda não pode ser 0.

Passo 4

Agora calcule P(X\le 1):
P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=0,1+0,3=0,4.
Ainda é menor que 0,5, então m não pode ser 1.

Passo 5

Em seguida calcule P(X\le 2):
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,1+0,3+0,4=0,8.
Agora alcançamos 0,8, que é maior que 0,5. Portanto o menor valor m que satisfaz P(X\le m)\ge 0,5 é m=2. Intuitivamente: pelo menos 80\% das vezes temos 2 ou menos descargas, então a mediana é 2.

Resposta

2

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