Um estudo de engenharia ambiental analisou o número de descargas diárias de efluentes em um pequeno rio, representado pela variável aleatória
, que pode assumir apenas quatro valores. A função de probabilidade de
está apresentada na tabela abaixo:
0
1
2
3
0,1
0,3
0,4
0,2
Qual é a mediana do número de descargas?
|
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0 | 1 | 2 | 3 |
|
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0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Passo 1
O enunciado dá a variável aleatória
que assume os valores
com probabilidades indicadas na tabela. Pergunta-se: qual é a mediana do número de descargas?
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
Passo 2
O que é mediana para uma variável aleatória discreta? Vou explicar devagar: a mediana é um valor
tal que pelo menos metade da probabilidade está em valores menores ou iguais a
. Em fórmulas comuns usamos a definição “menor
que satisfaça”
Isso faz sentido: a mediana divide a distribuição de modo que pelo menos
da massa esteja à esquerda (ou igual) de
. Em distribuições discretas pode existir mais de um
que cumpra isso, mas em geral escolhemos o menor valor que cruza a marca de
.
Passo 3
Vamos calcular as probabilidades cumulativas progressivamente e ver quando ultrapassamos
.
Primeiro calcule
:
Isso é menor que
, então
ainda não pode ser
.
Passo 4
Agora calcule
:
Ainda é menor que
, então
não pode ser
.
Passo 5
Em seguida calcule
:
Agora alcançamos
, que é maior que
. Portanto o menor valor
que satisfaz
é
. Intuitivamente: pelo menos
das vezes temos
ou menos descargas, então a mediana é
.