Problema 5. Uma empresa realiza um controle de qualidade em blocos de concreto produzidos em dois turnos (manhā e tarde). Cada bloco é classificado como Aprovado ou Reprovado. A tabela a seguir mostra a distribuição dos resultados de 200 blocos inspecionados:
Turno Aprovado Reprovado Total
Manhã 70 10 80
Tarde 90 30 120
Total 160 40 200
A probabilidade de um bloco ser reprovado, dado que foi produzido à manhā.

Passo 1

O enunciado pede: “A probabilidade de um bloco ser reprovado, dado que foi produzido à manhã.”
Dados que peguei da tabela do enunciado: na manhã foram inspecionados \,80 blocos no total, dos quais \,70 foram aprovados e \,10 foram reprovados. No turno da tarde foram \,120 blocos ( \,90 aprovados e \,30 reprovados). O total geral é \,200 blocos ( \,160 aprovados e \,40 reprovados).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): probabilidade condicional. Para dois eventos A e B, a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui, tome A como “bloco reprovado” e B como “bloco produzido à manhã”. Na prática, quando trabalhamos com contagens (amostra finita onde cada item é igualmente provável), podemos calcular a probabilidade condicional usando contagens:
P(A\mid B)=\frac{\text{número de casos em }A\cap B}{\text{número de casos em }B}.úú
Explicando as letras: A\cap B significa “reprovado e manhã” ao mesmo tempo; P(B) é a probabilidade (ou fração) de um bloco ser da manhã — mas, em contagens, usamos o número total de blocos da manhã.

Passo 3

Identificando pelas contagens da tabela:
  • Número de casos em A\cap B (reprovado e manhã) = \,10 (peguei esse valor da tabela).
  • Número de casos em B (manhã, total) = \,80 (peguei esse valor da tabela).
    Portanto
P(\text{Reprovado}\mid \text{Manhã})=\frac{10}{80}.ã

Passo 4

Faço a simplificação da fração e converto para decimal e porcentagem, passo a passo:
\frac{10}{80}=\frac{1}{8}.
Convertendo para decimal:
\frac{1}{8}=0,125.
Convertendo para porcentagem:
0,125=12,5\%.
Interpretação: dado que um bloco foi produzido no turno da manhã, a chance de ele ser reprovado é 12,5\%.

Passo 5

Dica prática para a prova: quando pedirem P(\text{evento}\mid \text{categoria}) e você tiver uma tabela de contingência, sempre divida a célula correspondente ao evento dentro da categoria pelo total daquela categoria. No caso, célula “reprovado na manhã” sobre “total da manhã” = 10/80. Respire fundo, faça a conta de cabeça simplificando por 10 e pronto — você ganha tempo.

Resposta

\dfrac{1}{8}=0,125=12,5\%

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