Um estudo foi desenvolvido para verificar o quanto o comprimento de um cabo da porta serial de microcomputadores influencia na qualidade da transmissão de dados, medida através do número de falhas em 100.000 lotes de dados transmitidos (taxa de falha). Os resultados foram:
Comp. do cabo (m) | 8 | 8 | 9 | 9 | 10 | 10 | 11 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Taxa de falha | 2,2 | 2,1 | 3,0 | 2,9 | 4,1 | 4,5 | 6,2 | 5,9 | 9,8 |
Comp. do cabo (m) | 12 | 13 | 13 | 14 | 14 | 15 | |||
:—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | |||
Taxa de falha | 8,7 | 12,5 | 13,1 | 19,3 | 17,4 | 28,2 |
(a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson entre o comprimento de um cabo e a taxa de falha;
(b) Considerando o resultado do item (a), como você avalia o relacionamento entre comprimento de um cabo e a taxa de falha, na amostra observada?
© Para estabelecer uma equação de regressão, qual deve ser a variável dependente e qual deve ser a variável independente?
(d) Estabeleça a equação de regressão, considerando a resposta do item ©;
(e) Apresente o diagrama de dispersão e a reta de regressão obtida em (d);
(f) Você considera adequado o ajuste do modelo de regressão do item (d)? Dê uma medida dessa adequação, interpretando-a.
(b) Considerando o resultado do item (a), como você avalia o relacionamento entre comprimento de um cabo e a taxa de falha, na amostra observada?
© Para estabelecer uma equação de regressão, qual deve ser a variável dependente e qual deve ser a variável independente?
(d) Estabeleça a equação de regressão, considerando a resposta do item ©;
(e) Apresente o diagrama de dispersão e a reta de regressão obtida em (d);
(f) Você considera adequado o ajuste do modelo de regressão do item (d)? Dê uma medida dessa adequação, interpretando-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para analisarmos como o comprimento de um cabo de microcomputador influencia na qualidade da transmissão de dados, medida pela taxa de falha. Vamos usar estatística, especificamente o coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear, para entender essa relação. Precisaremos calcular o coeficiente de correlação, interpretar o relacionamento, definir variáveis para regressão, estabelecer a equação de regressão, criar um diagrama de dispersão com a reta de regressão e avaliar a adequação do modelo.
Passo 2
(a) Calcular o coeficiente de correlação de Pearson entre o comprimento do cabo e a taxa de falha.
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de correlação de Pearson. Ele mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. O valor varia entre -1 e 1, onde valores próximos a 1 indicam uma forte correlação positiva, perto de -1 indicam uma forte correlação negativa, e perto de 0 indicam pouca ou nenhuma correlação.
Vamos usar a fórmula:
Onde:
- $ n $ é o número de pares de dados,
- $ x $ é o comprimento do cabo,
- $ y $ é a taxa de falha.
Primeiro, organizamos os dados:
Comp. do cabo (m) $ x $ | Taxa de falha $ y $ |
---|---|
8 | 2,2 |
8 | 2,1 |
9 | 3,0 |
9 | 2,9 |
10 | 4,1 |
10 | 4,5 |
11 | 6,2 |
11 | 5,9 |
12 | 9,8 |
12 | 8,7 |
13 | 12,5 |
13 | 13,1 |
14 | 19,3 |
14 | 17,4 |
15 | 28,2 |
Vamos calcular as somas necessárias:
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 3
(b) Avaliar o relacionamento entre comprimento do cabo e taxa de falha.
O coeficiente de correlação de Pearson obtido foi aproximadamente 0,989, que é muito próximo de 1. Isso indica uma fortíssima correlação positiva entre o comprimento do cabo e a taxa de falha. Ou seja, conforme o comprimento do cabo aumenta, a taxa de falha também tende a aumentar na amostra observada.
Passo 4
© Definir variável dependente e independente para regressão.
Para estabelecer uma equação de regressão, precisamos definir:
- Variável independente ($ x $): é aquela que usamos para prever, geralmente a que causa ou influencia a outra. Aqui, será o comprimento do cabo.
- Variável dependente ($ y $): é a que queremos prever ou explicar, que depende da outra. Aqui, será a taxa de falha.
Passo 5
(d) Estabelecer a equação de regressão.
A equação de regressão linear tem a forma:
Onde:
- $ b $ é o coeficiente angular,
- $ a $ é o coeficiente linear da reta.
Para calcular $ b $ e $ a $:
Primeiro, calculamos as médias:
Calculamos os desvios padrão:
Agora, calculamos $ b $:
E $ a $:
Portanto, a equação de regressão é:
Passo 6
(e) Apresentar o diagrama de dispersão e a reta de regressão.
Embora eu não possa desenhar aqui, vou descrever como seria o diagrama de dispersão:
-
Eixos:
- Eixo X: Comprimento do cabo (m)
- Eixo Y: Taxa de falha
-
Pontos: Cada par
representa um ponto no gráfico. -
Reta de regressão: A linha reta $ y = -21,15 + 2,88x $ passaria pelos pontos, mostrando a tendência de aumento da taxa de falha conforme o comprimento do cabo aumenta.
Passo 7
(f) Avaliar a adequação do modelo de regressão e fornecer uma medida.
O modelo de regressão é muito adequado, como indicado pelo coeficiente de correlação de 0,989, que sugere que a reta de regressão explica quase toda a variação na taxa de falha. Uma medida comum para isso é o coeficiente de determinação ($ R^2 $), que é o quadrado de $ r $.
Isso significa que aproximadamente 97,8% da variação na taxa de falha pode ser explicada pelo comprimento do cabo no modelo de regressão, indicando um ajuste excelente.
Resposta
Calculamos que o coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente 0,989, indicando uma forte correlação positiva entre o comprimento do cabo e a taxa de falha. A equação de regressão estabelecida é $ y = -21,15 + 2,88x $, e o modelo apresenta um ajuste excelente com um coeficiente de determinação de 97,8%. Portanto, há uma relação significativa e linear entre o comprimento do cabo e a taxa de falha na amostra observada.