Quatro fábricas de um mesmo grupo produzem peças automotivas. Historicamente, cerca de 20% do total de peças defeituosas vêm da fábrica 1, 30 % da fábrica 2, 25% da fábrica 3 e 25 % da fábrica 4 . Os engenheiros do setor da qualidade estão suspeitando que essas proporções não são mais válidas, e observaram o número de peças defeituosas no último lote de produção. Os dados são apresentados a seguir:
Fábrica c|c|c|c|c|c hline Fábrica & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & Total hline Número de peças & 120 & 200 & 175 & 134 & 629 hline Total
Número de peças 120 200 175 134 629
Utilizando nível de significância de 5%, a suspeita dos engenheiros do setor da qualidade tem fundamento?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos quatro fábricas que produzem peças automotivas, e historicamente, sabemos a porcentagem de peças defeituosas que vêm de cada uma delas:
  • Fábrica 1: 20%
  • Fábrica 2: 30%
  • Fábrica 3: 25%
  • Fábrica 4: 25%
Agora, os engenheiros querem saber se essas proporções ainda são válidas com base nos dados observados no último lote de produção. Para isso, vamos usar o teste do qui-quadrado de aderência, que nos ajuda a verificar se a distribuição observada difere da distribuição esperada.

Passo 2

Vamos organizar os dados observados:
c|c|c|c|c|c hline Fábrica & 1 & 2 & 3 & 4 & Total hline Número de peças & 120 & 200 & 175 & 134 & 629 hline áúç
O total de peças é 629.

Passo 3

Agora, vamos calcular as proporções esperadas com base nas porcentagens históricas:
  • Fábrica 1: 20% de 629 = 0,20 times 629 = 125,8
  • Fábrica 2: 30% de 629 = 0,30 times 629 = 188,7
  • Fábrica 3: 25% de 629 = 0,25 times 629 = 157,25
  • Fábrica 4: 25% de 629 = 0,25 times 629 = 157,25

Passo 4

Vamos montar a tabela com os valores observados e esperados:
c|c|c hline Fábrica & Observado & Esperado hline 1 & 120 & 125,8 2 & 200 & 188,7 3 & 175 & 157,25 4 & 134 & 157,25 hline á

Passo 5

Agora, vamos calcular o qui-quadrado para cada fábrica usando a fórmula:
chi^2 = sum (Oi - Ei)^2Ei
Onde:
  • Oi é o valor observado
  • Ei é o valor esperado
Vamos calcular cada termo:
  • Fábrica 1:
(120 - 125,8)^2125,8 = (-5,8)^2125,8 = 33,64125,8 approx 0,267
  • Fábrica 2:
(200 - 188,7)^2188,7 = 11,3^2188,7 = 127,69188,7 approx 0,676
  • Fábrica 3:
(175 - 157,25)^2157,25 = 17,75^2157,25 = 315,06157,25 approx 2,007
  • Fábrica 4:
(134 - 157,25)^2157,25 = (-23,25)^2157,25 = 540,56157,25 approx 3,443

Passo 6

Vamos somar todos os valores calculados para obter o valor total do qui-quadrado:
chi^2 approx 0,267 + 0,676 + 2,007 + 3,443 = 6,393

Passo 7

Agora, precisamos determinar o valor crítico do qui-quadrado para o nível de significância de 5% e os graus de liberdade. Como temos 4 categorias (fábricas), os graus de liberdade são:
gl = k - 1 = 4 - 1 = 3
Consultando uma tabela de qui-quadrado ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para alpha = 0,05 e 3 graus de liberdade é aproximadamente 7,815.

Passo 8

Comparamos o valor calculado do qui-quadrado com o valor crítico:
6,393 < 7,815

Resposta

Como 6,393 é menor que 7,815, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, a suspeita dos engenheiros do setor da qualidade não tem fundamento com base nos dados analisados.

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