Um estudo de grupos sanguíneos humanos realizado com 1000 pessoas, sendo 600 homens e 400 mulheres, constatou que 470 pessoas tinham o antígeno A, 230 pessoas tinham o antígeno B e 450 não tinhanm nenhum dos dois.
a) Qual o número de pessoas que possuem os antígenos A e B simultaneamente? (15)
b) Supondo que haja independência entre o sexo e o grupo sanguíneo, qual a probabilidade de que uma pessoa do grupo, escolhida ao acaso, seja homem e tenha os dois antígenos? (9/100)

Passo 1

O enunciado descreve um estudo com N=1000 pessoas, das quais 470 têm o antígeno A, 230 têm o antígeno B e 450 não têm nenhum dos dois. Pedem:
a) o número de pessoas que têm A e B simultaneamente;
b) supondo independência entre sexo e grupo sanguíneo, a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja homem e tenha ambos os antígenos.

Passo 2

Para a parte (a) usamos o princípio da inclusão-exclusão. Sejam A o conjunto dos que têm o antígeno A e B o dos que têm o antígeno B. Então
|Acup B| = |A| + |B| - |Acap B|
Como 450 pessoas não têm nenhum antígeno, temos
|Acup B| = 1000 - 450 = 550
Substituindo na fórmula:
550 = 470 + 230 - |Acap B|

Passo 3

Resolvendo para |Acap B|:
|Acap B| = 470 + 230 - 550 = 700 - 550 = 150

Passo 4

Para a parte (b), a independência entre sexo e grupo sanguíneo implica
P(homem e ambos antí>=nos) = P(homem) ,P(ambos antí>=nos) íí
Como 600 de 1000 são homens, P(homem)=600/1000, e 150 de 1000 têm ambos os antígenos, P(ambos antí>=nos)=150/1000í. Logo
P = 6001000cdot1501000 = 9100

Resposta

a) 150
b) tfrac9100

Exercícios relacionados