Seja X uma variável quantitativa, tal que X é definida como a idade dos indivíduos com uma característica de interesse, em anos. Suponha uma transformação na variável idade, de tal forma que cada observação é multiplicada por uma constante. Qual é o efeito na
(a) média;
(b) mediana;
(c) moda;
(d) desvio padrão
(e) variância;
(a) média;
(b) mediana;
(c) moda;
(d) desvio padrão
(e) variância;
Passo 1
O enunciado define uma variável
(idade em anos) e diz que fazemos a transformação
onde
é uma constante. Precisamos encontrar como essa transformação afeta as medidas de posição (média, mediana, moda) e de dispersão (desvio padrão, variância). Vamos usar as propriedades de transformações lineares de variáveis.
Passo 2
Para a média, lembramos que
Logo, a média é multiplicada por
.
Passo 3
A mediana é o valor que separa a amostra em duas metades. Se todos os valores são multiplicados por
, a ordenação não muda e o ponto central fica em
(Se
, a ordem inverte mas o valor da mediana continua sendo
vezes a mediana de
.)
Passo 4
A moda é o valor mais frequente. Ao multiplicar todos os dados por
, o valor que ocorria com maior frequência vira
vezes esse valor. Assim,
Passo 5
O desvio padrão mede a raiz da média dos quadrados dos desvios em relação à média. Como cada desvio
vira
, temos
Passo 6
A variância é o quadrado do desvio padrão, ou diretamente
Resposta
(a) A média fica
.
(b) A mediana fica .
(c) A moda fica .
(d) O desvio padrão fica .
(e) A variância fica .
(b) A mediana fica
(c) A moda fica
(d) O desvio padrão fica
(e) A variância fica