Seja X uma variável quantitativa, tal que X é definida como a idade dos indivíduos com uma característica de interesse, em anos. Suponha uma transformação na variável idade, de tal forma que cada observação é multiplicada por uma constante. Qual é o efeito na
(a) média;
(b) mediana;
(c) moda;
(d) desvio padrão
(e) variância;

Passo 1

O enunciado define uma variável X (idade em anos) e diz que fazemos a transformação
Y = c,X,
onde c é uma constante. Precisamos encontrar como essa transformação afeta as medidas de posição (média, mediana, moda) e de dispersão (desvio padrão, variância). Vamos usar as propriedades de transformações lineares de variáveis.

Passo 2

Para a média, lembramos que
bar Y = 1nsumi=1^nYi = 1nsumi=1^n(c,Xi) = c;1nsumi=1^nXi = c,bar X
Logo, a média é multiplicada por c.

Passo 3

A mediana é o valor que separa a amostra em duas metades. Se todos os valores são multiplicados por c>0, a ordenação não muda e o ponto central fica em
med(Y)=c,med(X)
(Se c<0, a ordem inverte mas o valor da mediana continua sendo c vezes a mediana de X.)

Passo 4

A moda é o valor mais frequente. Ao multiplicar todos os dados por c, o valor que ocorria com maior frequência vira c vezes esse valor. Assim,
moda(Y)=c,moda(X)

Passo 5

O desvio padrão mede a raiz da média dos quadrados dos desvios em relação à média. Como cada desvio (Xi-bar X) vira c,(Xi-bar X), temos
sigmaY = raiz1nsuml(Yi-bar Yr)^2 = raiz1nsuml(c,(Xi-bar X)r)^2 = |c|,sigmaX

Passo 6

A variância é o quadrado do desvio padrão, ou diretamente
Var(Y) = Var(c,X) = c^2,Var(X)

Resposta

(a) A média fica bar Y = c,bar X.
(b) A mediana fica med(Y) = c,med(X).
(c) A moda fica moda(Y) = c,moda(X).
(d) O desvio padrão fica sigmaY = |c|,sigmaX.
(e) A variância fica Var(Y) = c^2,Var(X).

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