Supondo que podem existir valores repetidos no conjunto
, demonstre a validade da propriedade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto $ X = {x_{1}, ···, x_{n}} $ que pode ter valores repetidos. A tarefa é mostrar que a variância desse conjunto pode ser calculada usando a fórmula:
Para isso, vamos precisar entender o que é variância, média e como os valores podem se repetir no conjunto. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a média ($ \bar{x}
f_i $) para simplificar o cálculo. Então, a média fica:
Aqui, $ k $ é o número de valores distintos no conjunto $ X $, $ f_i $ é a frequência de cada valor $ x_i $, e $ n = \sum_{i=1}^{k} f_{i} $ é o total de elementos no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a variância. A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula geral da variância é:
Mas, para facilitar, vamos expandir $ (x_j - \bar{x})^{2} $:
Então, substituindo na fórmula da variância:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo dessa expressão. Primeiro, note que:
E como $ \bar{x} $ é constante, temos:
Substituindo esses resultados na expressão da variância:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, vamos adaptar essa expressão para o caso onde temos frequências $ f_i $ para valores distintos $ x_i $. Nesse cenário, a soma dos quadrados dos valores pode ser escrita como:
Substituindo isso na expressão da variância que obtivemos:
Mas como $ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}}}{n} $, nossa expressão final fica:
Resposta
Assim, demonstramos que a variância do conjunto $ X $ com possíveis valores repetidos é: