Supondo que podem existir valores repetidos no conjunto X=x1, ldots, xn, demonstre a validade da propriedade
Var(X)=sumi=1^k fi xi^2-barx^2, 1 <= k <= n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto $ X = {x_{1}, ···, x_{n}} $ que pode ter valores repetidos. A tarefa é mostrar que a variância desse conjunto pode ser calculada usando a fórmula:
X = x1, ldots, xn
Para isso, vamos precisar entender o que é variância, média e como os valores podem se repetir no conjunto. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a média ($ \bar{x} barx ééúê f_i $) para simplificar o cálculo. Então, a média fica:
Aqui, $ k $ é o número de valores distintos no conjunto $ X $, $ f_i $ é a frequência de cada valor $ x_i $, e $ n = \sum_{i=1}^{k} f_{i} $ é o total de elementos no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a variância. A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula geral da variância é:
Var(X) = sumj=1^n (xj - barx)^2n
Mas, para facilitar, vamos expandir $ (x_j - \bar{x})^{2} $:
(xj - barx)^2
Então, substituindo na fórmula da variância:
(xj - barx)^2 = xj^2 - 2xj barx + barx^2

Passo 4

Vamos simplificar cada termo dessa expressão. Primeiro, note que:
sumj=1^n xj = n barx
E como $ \bar{x} $ é constante, temos:
barx
Substituindo esses resultados na expressão da variância:
sumj=1^n barx^2 = n barx^2
Simplificando mais:
Var(X) = sumj=1^n xj^2 - 2 barx (n barx) + n barx^2n = sumj=1^n xj^2 - 2 n barx^2 + n barx^2n

Passo 5

Agora, vamos adaptar essa expressão para o caso onde temos frequências $ f_i $ para valores distintos $ x_i $. Nesse cenário, a soma dos quadrados dos valores pode ser escrita como:
fi
Substituindo isso na expressão da variância que obtivemos:
Mas como $ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}}}{n} $, nossa expressão final fica:
xi

Resposta

Assim, demonstramos que a variância do conjunto $ X $ com possíveis valores repetidos é:
X

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