Num estudo das propriedades da inércia térmica de um tipo de concreto, foram testadas 5 amostras do material, e as medidas de temperatura ( em ^circ C ) em seu interior foram reportadas: 23,01; 22,22; 22,04; 22,62; 22,59.
É possível afirmar, com 95 % de confiança, que o desvio-padrão da temperatura é inferior a 0,40 ^circ C ?(chit^2=3,572)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos verificar, com 95% de confiança, se o desvio-padrão das temperaturas no concreto é menor que 0,40°C. Para isso, vamos usar a estatística de teste qui-quadrado, que é aplicada quando queremos fazer inferências sobre a variância ou desvio-padrão de uma população.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as hipóteses do teste. A hipótese nula (H₀) afirma que o desvio-padrão é igual a 0,40°C. Já a hipótese alternativa (H₁) sugere que o desvio-padrão é menor que 0,40°C. Nosso objetivo é verificar se há evidências suficientes para rejeitar H₀ em favor de H₁.

Passo 3

Em seguida, calculamos a média das temperaturas das 5 amostras:
barx = 23,01 + 22,22 + 22,04 + 22,62 + 22,595 = 22,696°C
Agora, calculamos a variância amostral (s²):
s² = sum (xi - barx)²n - 1 ²²
Onde $ n = 5 $. Vamos calcular cada termo:
n = 5 ²
(23,01 - 22,696)^2 = 0,314² = 0,0986
(22,22 - 22,696)^2 = (-0,476)^2 = 0,2266
(22,04 - 22,696)^2 = (-0,656)^2 = 0,4300
(22,62 - 22,696)^2 = (-0,076)^2 = 0,0058
Somando esses valores:
(22,59 - 22,696)^2 = (-0,106)^2 = 0,0112 ²
Então,
sum (xi - barx)² = 0,0986 + 0,2266 + 0,4300 + 0,0058 + 0,0112 = 0,7712 ²
O desvio-padrão amostral (s) é a raiz quadrada da variância:
s² = 0,77125 - 1 = 0,77124 = 0,1928

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do teste qui-quadrado para variância:
chi² = (n - 1)s²sigma₀² ²²²
Onde:
  • $ n - 1 = 4 $
  • $ s² = 0,1928 $
  • $ \sigma₀ = 0,40 $
Substituindo na fórmula:
n - 1 = 4 ²

Passo 5

Comparamos o valor calculado de chi² = 4,820² com o valor crítico fornecido chi²t = 3,572² para 4 graus de liberdade e nível de confiança de 95%. Como 4,820 > 3,572, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não, com 95% de confiança, não podemos afirmar que o desvio-padrão da temperatura é inferior a 0,40°C.

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