Seja X uma v.a. de Weibull que modela o tempo de vida de um HD de computador. Os parâmetros da distribuição são: forma (\beta)=0,25; escala (\delta)= 400 horas.
a) Determine a duração média do HD.
b) Qual a probabilidade de o HD durar até 10.000 horas?

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos uma variável aleatória que representa o tempo de vida de um HD com distribuição Weibull cujos parâmetros são: forma \beta=0,25 e escala \delta=400 horas. As perguntas são:
  1. Determinar a duração média do HD.
  2. Calcular a probabilidade de o HD durar até 10{.}000 horas (ou seja, a probabilidade de a vida útil ser menor ou igual a 10{.}000 horas).
As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
\beta=0,25 e \delta=400 horas; o tempo de interesse para (2) é x=10{.}000 horas.

Passo 2

Definição básica da distribuição Weibull e fórmulas úteis (com explicação didática).
A função densidade de probabilidade (PDF) da Weibull, para x\ge0, é
f(x)=\frac{\beta}{\delta}\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta-1}\exp\!\left(-\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta}\right).
A função distribuição acumulada (CDF), que dá a probabilidade de que a v.a. seja menor ou igual a x, é
F(x)=1-\exp\!\left(-\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta}\right).
A função de sobrevivência (probabilidade de durar pelo menos x) é o complemento:
S(x)=1-F(x)=\exp\!\left(-\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta}\right).
Explicando em palavras: para obter a probabilidade de "falhar até x" usamos F(x); para obter a probabilidade de "sobreviver ao tempo x" usamos S(x).

Passo 3

Fórmula da esperança (média) da Weibull e breve derivação intuitiva.
A média de uma Weibull é dada por
\mathbb{E}[X]=\delta\;\Gamma\!\left(1+\frac{1}{\beta}\right),
onde \Gamma(\cdot) é a função Gama, definida por
\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}\,dt.
Por que aparece a \Gamma? Porque, ao calcular \mathbb{E}[X]=\int_{0}^{\infty}x f(x)\,dx e fazer a mudança de variável t=(x/\delta)^{\beta}, a integral que sobra é exatamente a integral que define \Gamma com s=1+\tfrac{1}{\beta}. Se você quiser, posso detalhar essa mudança de variável passo a passo, mas a fórmula acima é a que usamos direto na prova.

Passo 4

Aplicando a fórmula da média aos parâmetros dados.
Temos \beta=0,25, então
\frac{1}{\beta}= \frac{1}{0,25}=4
e
1+\frac{1}{\beta}=1+4=5.
Para inteiros positivos n vale \Gamma(n)=(n-1)!. Assim
\Gamma\!\left(5\right)=4!=24.
Logo a média é
\mathbb{E}[X]=\delta\;\Gamma\!\left(5\right)=400\cdot 24.

Passo 5

Cálculo numérico da média e interpretação.
Calcule 400\cdot 24:
400\cdot 24 = 9{.}600.
Interpretação: em média o HD dura \,9{.}600 horas. Eu sei que é um número grande — respira! — mas é só a média teórica da Weibull com esses parâmetros.

Passo 6

Calculando a probabilidade pedida em (b). Interpretação adotada: “durar até 10{.}000 horas” = “falhar até 10{.}000 horas”, isto é, P(X\le 10{.}000)=F(10{.}000).
Usamos a CDF:
F(10{.}000)=1-\exp\!\left(-\left(\frac{10{.}000}{\delta}\right)^{\beta}\right).
Substituindo \delta=400 e \beta=0,25:
\frac{10{.}000}{400}=25,
25^{\beta}=25^{0,25}=25^{1/4}=\sqrt{5}.
Portanto
F(10{.}000)=1-\exp\!\left(-\sqrt{5}\right).

Passo 7

Cálculo numérico da probabilidade.
Primeiro calcule \sqrt{5}:
\sqrt{5}\approx 2{,}2360679.
Agora calcule a exponencial:
\exp(-\sqrt{5})\approx \exp(-2{,}2360679)\approx 0{,}106877.
Finalmente
F(10{.}000)=1-0{,}106877\approx 0{,}893123.
Arredondando razoavelmente, a probabilidade de o HD falhar até 10{.}000 horas é aproximadamente 0{,}8931, ou seja, cerca de 89{,}31\%.

Resposta

a) 9{.}600 horas
b) 0{,}8931

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