Seja
uma v.a. de Weibull que modela o tempo de vida de um HD de computador. Os parâmetros da distribuição são: forma
; escala
400 horas.
a) Determine a duração média do HD.
b) Qual a probabilidade de o HD durar até 10.000 horas?
a) Determine a duração média do HD.
b) Qual a probabilidade de o HD durar até 10.000 horas?
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Temos uma variável aleatória que representa o tempo de vida de um HD com distribuição Weibull cujos parâmetros são: forma
e escala
horas. As perguntas são:
- Determinar a duração média do HD.
- Calcular a probabilidade de o HD durar até
horas (ou seja, a probabilidade de a vida útil ser menor ou igual a horas).
As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
e
horas; o tempo de interesse para (2) é
horas.
Passo 2
Definição básica da distribuição Weibull e fórmulas úteis (com explicação didática).
A função densidade de probabilidade (PDF) da Weibull, para , é
A função densidade de probabilidade (PDF) da Weibull, para
A função distribuição acumulada (CDF), que dá a probabilidade de que a v.a. seja menor ou igual a
, é
A função de sobrevivência (probabilidade de durar pelo menos
) é o complemento:
Explicando em palavras: para obter a probabilidade de "falhar até
" usamos
; para obter a probabilidade de "sobreviver ao tempo
" usamos
.
Passo 3
Fórmula da esperança (média) da Weibull e breve derivação intuitiva.
A média de uma Weibull é dada por
A média de uma Weibull é dada por
onde
é a função Gama, definida por
Por que aparece a
? Porque, ao calcular
e fazer a mudança de variável
, a integral que sobra é exatamente a integral que define
com
. Se você quiser, posso detalhar essa mudança de variável passo a passo, mas a fórmula acima é a que usamos direto na prova.
Passo 4
Aplicando a fórmula da média aos parâmetros dados.
Temos , então
Temos
e
Para inteiros positivos
vale
. Assim
Logo a média é
Passo 5
Cálculo numérico da média e interpretação.
Calcule :
Calcule
Interpretação: em média o HD dura
horas. Eu sei que é um número grande — respira! — mas é só a média teórica da Weibull com esses parâmetros.
Passo 6
Calculando a probabilidade pedida em (b). Interpretação adotada: “durar até
horas” = “falhar até
horas”, isto é,
.
Usamos a CDF:
Usamos a CDF:
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 7
Cálculo numérico da probabilidade.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora calcule a exponencial:
Finalmente
Arredondando razoavelmente, a probabilidade de o HD falhar até
horas é aproximadamente
, ou seja, cerca de
.
Resposta
a)
horas
b)
b)