Um estudo realizado pela Internal Revenue Oversight Board revelou que 82% dos contribuintes disseram que era importante para o Internal Revenue Service (IRS) assegurar que contribuintes com rendimento elevado não soneguem para conseguir suas devoluções de impostos (The Wall Street Journal, 11 de fevereiro de 2009).
Qual a função de probabilidade mais adequada para utilizar no item a: função de probabilidade da distribuição binomial ou a aproximação normal à distribuição binomial? Justifique a sua resposta. (valor 0,5 ponto).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício que fala sobre um estudo onde 82% dos contribuintes acham importante que o IRS (Serviço de Receita Interna) evite que pessoas com rendimentos altos soneguem impostos para conseguir devoluções. A questão é: qual função de probabilidade é mais adequada para usar aqui? Vamos precisar entender sobre distribuições binomial e a aproximação normal à binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis desfechos (sucesso ou fracasso), e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa. No nosso caso, cada contribuinte pode ou não achar importante que o IRS evite a sonegação, com uma probabilidade de 82% de “sucesso” (achar isso importante).

Passo 3

Agora, sobre a aproximação normal à distribuição binomial. Às vezes, quando o número de tentativas é muito grande, a distribuição binomial pode ser bem complicada de trabalhar. Nesses casos, podemos usar a distribuição normal como uma aproximação mais simples. Mas tem algumas condições para isso funcionar bem: o tamanho da amostra (n) precisa ser grande, e as probabilidades de sucesso e fracasso não podem ser muito próximas de 0 ou 1.

Passo 4

Vamos verificar qual das duas funções é mais adequada para o nosso problema. Se o número de contribuintes que estamos considerando for grande e a probabilidade de sucesso (82%) não for extrema (ou seja, não está muito perto de 0 ou 1), a aproximação normal à distribuição binomial pode ser uma boa escolha. Isso porque facilita os cálculos e ainda dá resultados precisos.

Passo 5

Por outro lado, se estivermos lidando com um número pequeno de contribuintes, a distribuição binomial seria mais apropriada, já que a aproximação normal pode não ser tão precisa nesse caso.

Resposta

A aproximação normal à distribuição binomial é a função de probabilidade mais adequada para usar aqui, pois provavelmente estamos lidando com um grande número de contribuintes e a probabilidade de sucesso (82%) não é extrema, permitindo uma aproximação precisa e simplificada.

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