Métodos de regressão foram usadas para analisar dados provenientes de um estudo de investigação da relação entre a temperatura ( x ) da superfície da estrada e a deflexão(y) do pavimento. Um resumo das grandezas é : n=20, Sigma yi=12,75 ; sum yi 2=886 ; Sigma xi=1478 ; Sigma xi 2= 143.215,8 e \xiyi = 1083,67.
Calcule a estimativa de mínimos quadrados da inclinação e da interseção. Estime a variância do erro sigma 2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto de dados que relaciona a temperatura da superfície da estrada ( x) com a deflexão do pavimento ( y). Temos algumas somas já calculadas, como Sigma yi, Sigma yi^2, Sigma xi, Sigma xi^2 e Sigma xi yi. Nosso objetivo é usar o método dos mínimos quadrados para encontrar a inclinação ( beta1) e a interseção ( beta0) da reta de regressão, além de estimar a variância do erro ( sigma^2). Para isso, vamos precisar usar fórmulas de regressão linear simples e entender como calcular cada uma dessas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a inclinação ( beta1) da reta de regressão. A fórmula é:
beta1 = n sum xi yi - sum xi sum yin sum xi^2 - (sum xi)^2
Aqui, n é o número de observações, que no nosso caso é 20.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula da inclinação:
beta1 = 20 times 1083,67 - 1478 times 12,7520 times 143215,8 - (1478)^2
Agora, calculando o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
20 times 1083,67 = 21673,4
1478 times 12,75 = 18832,5
21673,4 - 18832,5 = 2840,9
Denominador:
20 times 143215,8 = 2864316
1478^2 = 2183284
2864316 - 2183284 = 681,032

Passo 4

Agora, vamos calcular beta1 dividindo o numerador pelo denominador:
beta1 = 2840,9681032 approx 0,00417

Passo 5

Com a inclinação calculada, vamos agora encontrar a interseção ( beta0). A fórmula para isso é:
beta0 = y - beta1 x
Para calcular y e x, usamos as médias:
y = Sigma yin = 12,7520 = 0,6375
x = Sigma xin = 147820 = 73,9

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da interseção:
beta0 = 0,6375 - 0,00417 times 73,9
Calculando:
0,00417 times 73,9 approx 0,308
beta0 = 0,6375 - 0,308 approx 0,3295

Passo 7

Com beta0 e beta1 calculados, podemos agora estimar a variância do erro ( sigma^2). A fórmula para isso é:
sigma^2 = Sigma yi^2 - beta0 Sigma yi - beta1 Sigma xi yin - 2
Vamos substituir os valores:
sigma^2 = 886 - 0,3295 times 12,75 - 0,00417 times 1083,6720 - 2

Passo 8

Calculando cada parte:
0,3295 times 12,75 approx 4,205
0,00417 times 1083,67 approx 4,518
Substituindo:
sigma^2 = 886 - 4,205 - 4,51818
sigma^2 = 886 - 8,72318
sigma^2 = 877,27718 approx 48,737

Resposta

A estimativa de mínimos quadrados da inclinação é aproximadamente 0,00417, a interseção é aproximadamente 0,3295 e a variância do erro sigma^2 é aproximadamente 48,737.

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