Métodos de regressão foram usadas para analisar dados provenientes de um estudo de investigação da relação entre a temperatura ( ) da superfície da estrada e a deflexão(y) do pavimento. Um resumo das grandezas é : n=20, e \xiyi = 1083,67.
Calcule a estimativa de mínimos quadrados da inclinação e da interseção. Estime a variância do erro .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto de dados que relaciona a temperatura da superfície da estrada () com a deflexão do pavimento (). Temos algumas somas já calculadas, como , , , e . Nosso objetivo é usar o método dos mínimos quadrados para encontrar a inclinação () e a interseção () da reta de regressão, além de estimar a variância do erro (). Para isso, vamos precisar usar fórmulas de regressão linear simples e entender como calcular cada uma dessas partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a inclinação () da reta de regressão. A fórmula é:
Aqui, é o número de observações, que no nosso caso é 20.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na fórmula da inclinação:
Agora, calculando o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Passo 4
Agora, vamos calcular dividindo o numerador pelo denominador:
Passo 5
Com a inclinação calculada, vamos agora encontrar a interseção (). A fórmula para isso é:
Para calcular y e x, usamos as médias:
y = Sigma yin = 12,7520 = 0,6375
x = Sigma xin = 147820 = 73,9
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da interseção:
beta0 = 0,6375 - 0,00417 times 73,9
Calculando:
0,00417 times 73,9 approx 0,308
beta0 = 0,6375 - 0,308 approx 0,3295
Passo 7
Com beta0 e beta1 calculados, podemos agora estimar a variância do erro (sigma^2). A fórmula para isso é:
sigma^2 = Sigma yi^2 - beta0 Sigma yi - beta1 Sigma xi yin - 2
Vamos substituir os valores:
sigma^2 = 886 - 0,3295 times 12,75 - 0,00417 times 1083,6720 - 2
Passo 8
Calculando cada parte:
0,3295 times 12,75 approx 4,205
0,00417 times 1083,67 approx 4,518
Substituindo:
sigma^2 = 886 - 4,205 - 4,51818
sigma^2 = 886 - 8,72318
sigma^2 = 877,27718 approx 48,737
Resposta
A estimativa de mínimos quadrados da inclinação é aproximadamente 0,00417, a interseção é aproximadamente 0,3295 e a variância do erro sigma^2 é aproximadamente 48,737.