Métodos de regressão foram usadas para analisar dados provenientes de um estudo de investigação da relação entre a temperatura (
) da superfície da estrada e a deflexão(y) do pavimento. Um resumo das grandezas é : n=20,
e \xiyi = 1083,67.
Teste a significância da regressão, usando
. que conclusões você pode tirar?
Teste a significância da regressão, usando
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um estudo que analisou a relação entre a temperatura da superfície da estrada (
) e a deflexão do pavimento (
). Usamos métodos de regressão para entender essa relação. Os dados fornecidos incluem somas de
,
,
,
e
. Precisamos testar se a regressão é significativa usando um nível de significância (
) de 0,05. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre regressão linear e testes de hipótese.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na regressão linear simples temos a equação:
onde
é o intercepto,
é o coeficiente angular e
é o erro.
Nosso objetivo aqui é testar se a relação entre
e
é significativa, ou seja, se
é diferente de zero. A hipótese nula (
) é que
(não há relação), e a hipótese alternativa (
) é que
(há relação).
Passo 3
Para testar essa hipótese, vamos usar o teste F da regressão. Primeiro, precisamos calcular alguns valores:
- Média de
( ) e de ( ). - A soma dos quadrados total (SST), a soma dos quadrados da regressão (SSR) e a soma dos quadrados do erro (SSE).
Vamos começar calculando as médias:
Passo 4
Agora, calculamos a soma dos quadrados total (SST):
Passo 5
Em seguida, calculamos a soma dos quadrados da regressão (SSR):
Primeiro, precisamos do coeficiente de correlação (
):
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
$$
20 \times 1083.67 = 21673.4
20 \times 1083.67 = 21673.4
1478 \times 12.75 = 18832.5
21673.4 - 18832.5 = 2840.9
$$
Calculando o denominador:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 6
Agora que temos o coeficiente de correlação (
), podemos calcular a soma dos quadrados da regressão (SSR):
Passo 7
Com o SSR, podemos encontrar a soma dos quadrados do erro (SSE):
Passo 8
Agora, vamos calcular os graus de liberdade:
- Graus de liberdade da regressão (df1) = 1
- Graus de liberdade do erro (df2) = n - 2 = 20 - 2 = 18
Passo 9
Vamos calcular a média dos quadrados:
Passo 10
Agora, calculamos a estatística F:
Passo 11
Com a estatística F calculada, precisamos comparar com o valor crítico de F para df1=1 e df2=18 no nível de significância de 0,05. Consultando a tabela de F, o valor crítico é aproximadamente 4,41.
Passo 12
Como nosso valor de F (0.012) é muito menor que o valor crítico (4,41), não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Como a estatística F calculada (0,012) é menor que o valor crítico (4,41), não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, concluímos que a regressão não é significativa no nível de 5%. Isso significa que não há evidências suficientes para afirmar que a temperatura da superfície da estrada influencia a deflexão do pavimento.