Métodos de regressão foram usadas para analisar dados provenientes de um estudo de investigação da relação entre a temperatura ( x ) da superfície da estrada e a deflexão(y) do pavimento. Um resumo das grandezas é : n=20, Sigma yi=12,75 ; sum yi 2=886 ; Sigma xi=1478 ; Sigma xi 2= 143.215,8 e \xiyi = 1083,67.
Teste a significância da regressão, usando alpha=0.05. que conclusões você pode tirar?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um estudo que analisou a relação entre a temperatura da superfície da estrada ( x) e a deflexão do pavimento ( y). Usamos métodos de regressão para entender essa relação. Os dados fornecidos incluem somas de x, y, x^2, y^2 e xy. Precisamos testar se a regressão é significativa usando um nível de significância ( alpha) de 0,05. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre regressão linear e testes de hipótese.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na regressão linear simples temos a equação:
y = beta0 + beta1 x + epsilon
onde beta0 é o intercepto, beta1 é o coeficiente angular e epsilon é o erro.
Nosso objetivo aqui é testar se a relação entre x e y é significativa, ou seja, se beta1 é diferente de zero. A hipótese nula ( H0) é que beta1 = 0 (não há relação), e a hipótese alternativa ( H1) é que beta1 neq 0 (há relação).

Passo 3

Para testar essa hipótese, vamos usar o teste F da regressão. Primeiro, precisamos calcular alguns valores:
  1. Média de x ( barx) e de y ( bary).
  2. A soma dos quadrados total (SST), a soma dos quadrados da regressão (SSR) e a soma dos quadrados do erro (SSE).
Vamos começar calculando as médias:
barx = Sigma xin = 147820 = 73.9
bary = Sigma yin = 12.7520 = 0.6375

Passo 4

Agora, calculamos a soma dos quadrados total (SST):
SST = Sigma yi^2 - (Sigma yi)^2n = 886 - (12.75)^220 = 886 - 162.562520 = 886 - 8.128125 = 877.871875

Passo 5

Em seguida, calculamos a soma dos quadrados da regressão (SSR):
Primeiro, precisamos do coeficiente de correlação ( r):
r = nSigma xy - Sigma x Sigma yraiznSigma x^2 - (Sigma x)^2 raiznSigma y^2 - (Sigma y)^2
Substituindo os valores:
r = 20 times 1083.67 - 1478 times 12.75raiz20 times 143215.8 - 1478^2 raiz20 times 886 - 12.75^2
Calculando o numerador:
$$
20 \times 1083.67 = 21673.4
1478 \times 12.75 = 18832.5
21673.4 - 18832.5 = 2840.9
$$
Calculando o denominador:
Para 20 times 1083.67 = 21673.4 1478 times 12.75 = 18832.5 21673.4 - 18832.5 = 2840.9 :
x
Para raiz20 times 143215.8 - 1478^2 = raiz2864316 - 2184484 = raiz679832 approx 824.68 :
y
Então:
raiz20 times 886 - 12.75^2 = raiz17720 - 162.5625 = raiz17557.4375 approx 132.48

Passo 6

Agora que temos o coeficiente de correlação ( r approx 0.02598), podemos calcular a soma dos quadrados da regressão (SSR):
SSR = r^2 times SST = (0.02598)^2 times 877.871875 approx 0.000675 times 877.871875 approx 0.592

Passo 7

Com o SSR, podemos encontrar a soma dos quadrados do erro (SSE):
SSE = SST - SSR = 877.871875 - 0.592 approx 877.28

Passo 8

Agora, vamos calcular os graus de liberdade:
  • Graus de liberdade da regressão (df1) = 1
  • Graus de liberdade do erro (df2) = n - 2 = 20 - 2 = 18

Passo 9

Vamos calcular a média dos quadrados:
MSR = SSRdf1 = 0.5921 = 0.592
MSE = SSEdf2 = 877.2818 approx 48.737

Passo 10

Agora, calculamos a estatística F:
F = MSRMSE = 0.59248.737 approx 0.012

Passo 11

Com a estatística F calculada, precisamos comparar com o valor crítico de F para df1=1 e df2=18 no nível de significância de 0,05. Consultando a tabela de F, o valor crítico é aproximadamente 4,41.

Passo 12

Como nosso valor de F (0.012) é muito menor que o valor crítico (4,41), não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Como a estatística F calculada (0,012) é menor que o valor crítico (4,41), não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, concluímos que a regressão não é significativa no nível de 5%. Isso significa que não há evidências suficientes para afirmar que a temperatura da superfície da estrada influencia a deflexão do pavimento.

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