Num estudo recente conduzido em varias maternidades verificou-se que em média, 30 % dos nascimentos ocorrem antes da data prevista pelo médico. Determine a probabilidade de que pelo menos 80 de 200 grávidas escolhidas ao acaso, ocorram antes da data prevista.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre probabilidade e distribuição binomial. Basicamente, ele diz que em média, 30% dos nascimentos acontecem antes da data prevista pelo médico. Agora, queremos saber qual a chance de, em um grupo de 200 grávidas escolhidas aleatoriamente, pelo menos 80 dessas terem o nascimento antes da data prevista. Para resolver isso, vamos precisar entender de distribuição binomial e talvez usar uma aproximação normal para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial. Aqui, temos:
  • $ n = 200 $ (o número total de grávidas)
  • $ p = 0.3 $ (a probabilidade de uma grávida ter o nascimento antes da data prevista)
A distribuição binomial é adequada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 200 grávidas), cada uma com duas possíveis desfechos (nascimento antes ou não), e a probabilidade de sucesso (nascimento antes) é constante em todas as tentativas.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos 80 grávidas terem nascimento antes da data prevista, ou seja, $ P(X \geq 80) $. Calcular isso diretamente usando a fórmula da binomial seria complicado, então vamos usar uma aproximação normal.
Para usar a aproximação normal, precisamos verificar se os valores de $ n $ e $ p $ satisfazem a condição $ np \geq 10 $ e $ n(1-p) \geq 10 $. Vamos calcular:
  • $ np = 200 \times 0.3 = 60 $
  • $ n(1-p) = 200 \times 0.7 = 140 $
Como ambos são maiores que 10, podemos seguir com a aproximação normal.

Passo 4

Agora, vamos calcular a média ($ \mu mu ã \sigma $) da distribuição binomial:
  • $ \mu = np = 60 $
  • $ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{200 \times 0.3 \times 0.7} \approx \sqrt{42} \approx 6.48 $
Como estamos usando a aproximação normal, aplicaremos a correção de continuidade para melhorar a precisão. Queremos $ P(X \geq 80) $, então ajustamos para $ P(X \geq 79.5) $.

Passo 5

Agora, vamos padronizar o valor usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma = 79.5 - 606.48 approx 19.56.48 approx 3.01
Consultando uma tabela de distribuição normal, ou usando uma calculadora, encontramos que a probabilidade correspondente a $ z = 3.01 $ é aproximadamente 0.0013. Isso representa a área à direita de z = 3.01.

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 80 de 200 grávidas escolhidas ao acaso tenham o nascimento antes da data prevista é aproximadamente 0,13%.

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