Num estudo recente conduzido em varias maternidades verificou-se que em média,
dos nascimentos ocorrem antes da data prevista pelo médico. Determine a probabilidade de que pelo menos 80 de 200 grávidas escolhidas ao acaso, ocorram antes da data prevista.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre probabilidade e distribuição binomial. Basicamente, ele diz que em média, 30% dos nascimentos acontecem antes da data prevista pelo médico. Agora, queremos saber qual a chance de, em um grupo de 200 grávidas escolhidas aleatoriamente, pelo menos 80 dessas terem o nascimento antes da data prevista. Para resolver isso, vamos precisar entender de distribuição binomial e talvez usar uma aproximação normal para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial. Aqui, temos:
- $ n = 200 $ (o número total de grávidas)
- $ p = 0.3 $ (a probabilidade de uma grávida ter o nascimento antes da data prevista)
A distribuição binomial é adequada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 200 grávidas), cada uma com duas possíveis desfechos (nascimento antes ou não), e a probabilidade de sucesso (nascimento antes) é constante em todas as tentativas.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos 80 grávidas terem nascimento antes da data prevista, ou seja, $ P(X \geq 80) $. Calcular isso diretamente usando a fórmula da binomial seria complicado, então vamos usar uma aproximação normal.
Para usar a aproximação normal, precisamos verificar se os valores de $ n $ e $ p $ satisfazem a condição $ np \geq 10 $ e $ n(1-p) \geq 10 $. Vamos calcular:
- $ np = 200 \times 0.3 = 60 $
- $ n(1-p) = 200 \times 0.7 = 140 $
Como ambos são maiores que 10, podemos seguir com a aproximação normal.
Passo 4
Agora, vamos calcular a média ($ \mu
\sigma $) da distribuição binomial:
- $ \mu = np = 60 $
- $ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{200 \times 0.3 \times 0.7} \approx \sqrt{42} \approx 6.48 $
Como estamos usando a aproximação normal, aplicaremos a correção de continuidade para melhorar a precisão. Queremos $ P(X \geq 80) $, então ajustamos para $ P(X \geq 79.5) $.
Passo 5
Agora, vamos padronizar o valor usando a fórmula do escore z:
Consultando uma tabela de distribuição normal, ou usando uma calculadora, encontramos que a probabilidade correspondente a $ z = 3.01 $ é aproximadamente 0.0013. Isso representa a área à direita de z = 3.01.
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 80 de 200 grávidas escolhidas ao acaso tenham o nascimento antes da data prevista é aproximadamente 0,13%.