田 Um estudo revela que os investimentos em controle de poluição são eficazes apenas até certo ponto. Suponha que se saiba que,quando o gasto é de x milhões de reais,a porcentagem de decréscimo da poluição é dada por
P(x)=100 raizx0,03 x^2+9
b)Para que valores de x a porcentagem P(x) está aumentando?Para que valores está diminuindo?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a porcentagem de decréscimo da poluição, P(x) = 100 raizx0,03 x^2 + 9 , onde x é o investimento em milhões de reais. A pergunta é: para quais valores de x essa porcentagem P(x) está aumentando e para quais está diminuindo? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como uma função se comporta em relação a x .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de P(x) em relação a x , ou seja, P'(x) . A derivada nos mostra a taxa de variação da função; se for positiva, a função está aumentando, e se for negativa, está diminuindo.

Passo 3

Vamos derivar P(x) . Usaremos a regra do quociente, que diz que se P(x) = f(x)g(x) , então:
P'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2
Aqui, f(x) = 100 raizx e g(x) = 0,03 x^2 + 9 .

Passo 4

Calculando f'(x) e g'(x) :
f'(x) = 1002 raizx = 50raizx
g'(x) = 2 times 0,03 x = 0,06 x

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
P'(x) = ( 50raizx )(0,03 x^2 + 9) - (100 raizx)(0,06 x)(0,03 x^2 + 9)^2
Simplificando o numerador:
= 50(0,03 x^2 + 9)raizx - 100 raizx times 0,06 x1
= 1,5 x^2 + 450raizx - 6 x^1.5

Passo 6

Para saber onde P'(x) > 0 (aumento) e P'(x) < 0 (diminuição), vamos analisar o sinal de P'(x) . Isso geralmente envolve encontrar os valores críticos onde P'(x) = 0 e determinar os intervalos onde a derivada é positiva ou negativa.

Passo 7

Igualando P'(x) a zero:
1,5 x^2 + 450raizx - 6 x^1.5 = 0
Multiplicando ambos os lados por raizx para eliminar o denominador:
1,5 x^2 + 450 = 6 x^2
Subtraindo 1,5 x^2 de ambos os lados:
450 = 4,5 x^2
Dividindo ambos os lados por 4,5:
x^2 = 100
Extraindo a raiz quadrada:
x = 10

Passo 8

Agora, temos um valor crítico em x = 10 . Vamos testar intervalos ao redor desse valor para determinar onde P'(x) é positivo ou negativo.
  • Para x < 10 : escolha x = 5
  • Para x > 10 : escolha x = 15
Substituindo na derivada:
Para x = 5 :
P'(5) > 0 (aumentando)
Para x = 15 :
P'(15) < 0 (diminuindo)

Resposta

A porcentagem P(x) está aumentando para valores de x menores que 10 milhões de reais e diminuindo para valores de x maiores que 10 milhões de reais.

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