田 Um estudo revela que os investimentos em controle de poluição são eficazes apenas até certo ponto. Suponha que se saiba que,quando o gasto é de
milhões de reais,a porcentagem de decréscimo da poluição é dada por
b)Para que valores de
a porcentagem
está aumentando?Para que valores está diminuindo?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a porcentagem de decréscimo da poluição,
, onde
é o investimento em milhões de reais. A pergunta é: para quais valores de
essa porcentagem
está aumentando e para quais está diminuindo? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como uma função se comporta em relação a
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função; se for positiva, a função está aumentando, e se for negativa, está diminuindo.
Passo 3
Vamos derivar
. Usaremos a regra do quociente, que diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Passo 4
Calculando
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Para saber onde
(aumento) e
(diminuição), vamos analisar o sinal de
. Isso geralmente envolve encontrar os valores críticos onde
e determinar os intervalos onde a derivada é positiva ou negativa.
Passo 7
Igualando
a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 4,5:
Extraindo a raiz quadrada:
Passo 8
Agora, temos um valor crítico em
. Vamos testar intervalos ao redor desse valor para determinar onde
é positivo ou negativo.
- Para
: escolha - Para
: escolha
Substituindo na derivada:
Para
:
Para
:
Resposta
A porcentagem
está aumentando para valores de
menores que 10 milhões de reais e diminuindo para valores de
maiores que 10 milhões de reais.