Nos problemas a seguir, calcule a derivada da função dada. Explicite a cada passo a regra de derivação utilizada.
g) f(x)=x^2-3 x+22 x^2+5 x-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^2-3x+22x^2+5x-1
ou seja, é um quociente de duas funções polinomiais. Vamos usar a regra do quociente combinada com a regra do poder para polinômios.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^2-3x+2, v(x) = 2x^2+5x-1
e lembramos a regra do quociente:
f'(x) =gl(uvgr)' =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2

Passo 3

Calculamos u'(x) aplicando a regra do poder ( tfracddxx^n=n,x^n-1) e a derivada de termo linear:
u'(x) =ddxl(x^2r)-ddx(3x)+ddx(2) =2x-3+0 =2x-3

Passo 4

Calculamos v'(x) do mesmo modo:
v'(x) =ddxl(2x^2r)+ddx(5x)-ddx(1) =4x+5+0 =4x+5

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =(2x-3),(2x^2+5x-1)-(x^2-3x+2),(4x+5)l(2x^2+5x-1r)^2

Passo 6

Expandimos e simplificamos o numerador:
(2x-3)(2x^2+5x-1) =4x^3+4x^2-17x+3,
(x^2-3x+2)(4x+5) =4x^3-7x^2-7x+10,
numerador =(4x^3+4x^2-17x+3);-;(4x^3-7x^2-7x+10) =11x^2-10x-7
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f'(x) =11x^2-10x-7l(2x^2+5x-1r)^2

Resposta

f'(x)=11x^2-10x-7l(2x^2+5x-1r)^2

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