Nos problemas a seguir, calcule a derivada da função dada. Explicite a cada passo a regra de derivação utilizada.
e) f(x)=13(x^5-2 x^3+1)(x-1x)

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x)=13l(x^5-2x^3+1r)l(x-tfrac1xr)
e pede f'(x). Vamos usar as seguintes regras de derivação:
– regra da constante multiplicativa,
– regra do produto,
– regra da potência (incluindo x^-1).

Passo 2

Pela regra da constante multiplicativa,
f'(x)=13,ddxl[l(x^5-2x^3+1r)l(x-tfrac1xr)r]
Agora aplicamos a regra do produto a
u(x)=x^5-2x^3+1, v(x)=x-tfrac1x

Passo 3

Derivamos u e v separadamente com a regra da potência:
u'(x)=ddxl(x^5r)-2ddxl(x^3r)+ddx(1) =5x^4-6x^2+0=5x^4-6x^2,
v'(x)=ddx(x)-ddxl(x^-1r) =1-(-1)x^-2=1+x^-2

Passo 4

Pela regra do produto,
ddx[u,v]=u',v+u,v',
então
ddxl[l(x^5-2x^3+1r)l(x-tfrac1xr)r] =(5x^4-6x^2)l(x-tfrac1xr)+(x^5-2x^3+1)(1+x^-2)

Passo 5

Agora expandimos e simplificamos:
(5x^4-6x^2)l(x-tfrac1xr) =5x^5-5x^3-6x^3+6x =5x^5-11x^3+6x,
(x^5-2x^3+1)(1+x^-2) =x^5+x^3-2x^3-2x+1+x^-2 =x^5-x^3-2x+1+x^-2
Somando as duas partes:
5x^5-11x^3+6x ;+; x^5-x^3-2x+1+x^-2 =6x^5-12x^3+4x+1+x^-2
Logo, lembrando o fator 1/3,
f'(x)=13l(6x^5-12x^3+4x+1+x^-2r) =2x^5-4x^3+43x+13+13x^2

Resposta

f'(x)=2x^5-4x^3+43x+13+13x^2

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