Em um estudo sobre germinação de uma dada estirpe de sementes, foi concluído que sementes não submetidas ao tratamento prévio com fungicida apresentam uma probabilidade de apenas 25 % de germinação. Logo, considerando um total de 6 sementes não submetidas ao tratamento prévio, qual é a probabilidade de que metade do total de sementes não tratadas germinem? (Dist. Binomial)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre a probabilidade de sementes germinarem. A pergunta é: de 6 sementes que não receberam fungicida, qual a chance de exatamente metade delas, ou seja, 3 sementes, germinar? Vamos usar o conceito de Distribuição Binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores importantes do problema:
  • n = 6 sementes no total.
  • k = 3 sementes que queremos que germinem.
  • p = 0,25 (25%) é a probabilidade de uma única semente germinar.

Passo 3

A Distribuição Binomial é ótima para calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas, quando cada tentativa tem a mesma probabilidade p de sucesso. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Coeficiente binomial:
binom63 = 6!3! times (6 - 3)! = 7206 times 6 = 20
  1. Probabilidade dos sucessos:
p^k = 0,25^3 = 0,015625
  1. Probabilidade dos fracassos:
(1 - p)^n - k = 0,75^3 = 0,421875
Agora, multiplicamos tudo:
P(X = 3) = 20 times 0,015625 times 0,421875 = 20 times 0,006591796875 = 0,1318359375

Resposta

A probabilidade de exatamente 3 das 6 sementes não tratadas germinarem é de aproximadamente 13,18%.

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