Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
e variância
(isto é,
, calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
d. Acima de
.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
d. Acima de
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre distribuição normal. A situação é uma fábrica que enche sacos de ração com um peso médio de 50 kg, mas nem todos os sacos têm exatamente esse peso. A variabilidade nesse processo segue uma distribuição normal com média
e variância
. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de que, ao escolhermos um saco aleatoriamente, ele pese mais de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Média (
): 50 kg - Variância (
): 0,25 kg²
Queremos saber a probabilidade de um saco pesar mais de 51,5 kg. Para isso, precisamos usar a distribuição normal padrão, que nos ajuda a calcular probabilidades para qualquer valor em uma distribuição normal.
Passo 3
A distribuição normal é simétrica em torno da média e é definida por sua média (
) e desvio padrão (
). Aqui, o desvio padrão
é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Agora, vamos padronizar o valor que nos interessa, que é 51,5 kg. Isso significa transformar esse valor em um escore z, que nos indica quantos desvios padrão o valor está acima da média. A fórmula para calcular o escore z é:
Onde:
-
é o valor que estamos analisando (51,5 kg) -
é a média (50 kg) -
é o desvio padrão (0,5 kg)
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Então, o escore z é 3.
Passo 6
Com o escore z calculado, precisamos encontrar a probabilidade de um valor ser maior que z = 3 em uma distribuição normal padrão. Isso corresponde à área à direita de z = 3 na curva normal.
Passo 7
Consultando a tabela da distribuição normal padrão (tabela z) ou usando uma calculadora, encontramos que a área à direita de z = 3 é aproximadamente 0,0013. Isso significa que há uma probabilidade de 0,13% de um saco pesar mais de 51,5 kg.
Resposta
A probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha acima de
é de aproximadamente
.