Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com mu=50 kg e variância sigma^2=0,25 kg^2 (isto é, X sim N(50 ; 0,25), calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
d. Acima de 51,5 kg.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre distribuição normal. A situação é uma fábrica que enche sacos de ração com um peso médio de 50 kg, mas nem todos os sacos têm exatamente esse peso. A variabilidade nesse processo segue uma distribuição normal com média mu = 50, kg e variância sigma^2 = 0,25, kg^2. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de que, ao escolhermos um saco aleatoriamente, ele pese mais de 51,5, kg.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Média ( mu): 50 kg
  • Variância ( sigma^2): 0,25 kg²
Queremos saber a probabilidade de um saco pesar mais de 51,5 kg. Para isso, precisamos usar a distribuição normal padrão, que nos ajuda a calcular probabilidades para qualquer valor em uma distribuição normal.

Passo 3

A distribuição normal é simétrica em torno da média e é definida por sua média ( mu) e desvio padrão ( sigma). Aqui, o desvio padrão sigma é a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz0,25 = 0,5, kg

Passo 4

Agora, vamos padronizar o valor que nos interessa, que é 51,5 kg. Isso significa transformar esse valor em um escore z, que nos indica quantos desvios padrão o valor está acima da média. A fórmula para calcular o escore z é:
z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que estamos analisando (51,5 kg)
  • mu é a média (50 kg)
  • sigma é o desvio padrão (0,5 kg)

Passo 5

Aplicando a fórmula:
z = 51,5 - 500,5 = 1,50,5 = 3
Então, o escore z é 3.

Passo 6

Com o escore z calculado, precisamos encontrar a probabilidade de um valor ser maior que z = 3 em uma distribuição normal padrão. Isso corresponde à área à direita de z = 3 na curva normal.

Passo 7

Consultando a tabela da distribuição normal padrão (tabela z) ou usando uma calculadora, encontramos que a área à direita de z = 3 é aproximadamente 0,0013. Isso significa que há uma probabilidade de 0,13% de um saco pesar mais de 51,5 kg.

Resposta

A probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha acima de 51,5, kg é de aproximadamente 0,13%.

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