Sejam A e B dois eventos. Seja
. Seja
.
b. Para que o valor de p, A e B serão independentes?
b. Para que o valor de p, A e B serão independentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois eventos, A e B. Sabemos que a probabilidade de A ocorrer é $ P(A) = 0,2 $ e que a probabilidade de pelo menos um dos dois ocorrer é $ P(A \cup B) = 0,6 $. Também, a probabilidade de B ocorrer é $ P(B) = p $. A pergunta é: qual valor de $ p $ faz com que A e B sejam eventos independentes?
Usaremos conceitos de probabilidade de união de eventos e independência de eventos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a probabilidade da união de dois eventos, que é quando pelo menos um dos eventos ocorre. A fórmula é:
Onde $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem juntos.
Passo 3
Agora, como queremos que A e B sejam independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem juntos é o produto das probabilidades individuais:
Substituindo isso na fórmula da união:
Passo 4
Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ p $ para encontrar o valor:
Resposta
O valor de $ p $ para que A e B sejam independentes é $ 0,5 $.