Sejam A e B dois eventos. Seja P(A)=0,2 P(A cup B)=0,6. Seja P(B)=p.
b. Para que o valor de p, A e B serão independentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois eventos, A e B. Sabemos que a probabilidade de A ocorrer é $ P(A) = 0,2 $ e que a probabilidade de pelo menos um dos dois ocorrer é $ P(A \cup B) = 0,6 $. Também, a probabilidade de B ocorrer é $ P(B) = p $. A pergunta é: qual valor de $ p $ faz com que A e B sejam eventos independentes?
Usaremos conceitos de probabilidade de união de eventos e independência de eventos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a probabilidade da união de dois eventos, que é quando pelo menos um dos eventos ocorre. A fórmula é:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Onde $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem juntos.

Passo 3

Agora, como queremos que A e B sejam independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem juntos é o produto das probabilidades individuais:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Substituindo isso na fórmula da união:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A) times P(B)

Passo 4

Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação:
0,6 = 0,2 + p - (0,2 times p)
Simplificando:
0,6 = 0,2 + p - 0,2p
0,6 - 0,2 = p - 0,2p
0,4 = 0,8p

Passo 5

Agora, vamos isolar $ p $ para encontrar o valor:
p
p = 0,40,8

Resposta

O valor de $ p $ para que A e B sejam independentes é $ 0,5 $.

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