Um estudo sobre o tempo que um administrador leva para ser promovido em empresas de grande porte mostrou que o tempo distribui-se normalmente com média 2,20 anos e desvio padrão de 0,20 anos. Selecionado um administrador ingressante em uma dessas empresas, qual a probabilidade dele ser promovido:
entre 2,00 e 2,40 anos?
entre 2,00 e 2,40 anos?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- O tempo até a promoção é uma variável aleatória que “distribui-se normalmente” com média
anos e desvio padrão anos. - A pergunta é: qual a probabilidade de o administrador ser promovido entre
e anos? Ou seja, calcular .
Passo 2
Método escolhido (explicação didática):
- Quando uma variável aleatória
é normalmente distribuída com média e desvio padrão , para facilitar o cálculo de probabilidades transformamos numa variável padronizada com média e desvio padrão . Isso chama-se padronizar ou calcular o escore . - A fórmula do escore
é
onde:
-
é o valor de interesse da variável original ; -
é a média da distribuição de ; -
é o desvio padrão de . - Depois de padronizar, usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por
. Essa função dá a probabilidade para . - Assim, para dois valores
e ,
- Uma propriedade útil da normal padrão é a simetria:
. Isso simplifica cálculos quando os são simétricos.
Passo 3
Calcular os escore
correspondentes aos extremos
e
:
Ou seja, os limites
e
correspondem a
e
desvios-padrão em relação à média.
Passo 4
Calcular a probabilidade usando a normal padrão:
Pela simetria,
. Portanto
O valor conhecido da tabela da normal padrão é
. Assim
Arredondando para quatro casas decimais fica
.
Passo 5
Interpretação e dica para a prova:
- A probabilidade obtida é aproximadamente
, ou seja . Essa é exatamente a regra empírica famosa: cerca de dos valores de uma normal ficam dentro de desvio-padrão da média. - Dica rápida para prova: memorizar a regra
ajuda muito (1, 2 e 3 desvios-padrão).