Um estudo sobre o tempo que um administrador leva para ser promovido em empresas de grande porte mostrou que o tempo distribui-se normalmente com média 2,20 anos e desvio padrão de 0,20 anos. Selecionado um administrador ingressante em uma dessas empresas, qual a probabilidade dele ser promovido:
entre 2,00 e 2,40 anos?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • O tempo até a promoção é uma variável aleatória que “distribui-se normalmente” com média \mu=2,20 anos e desvio padrão \sigma=0,20 anos.
  • A pergunta é: qual a probabilidade de o administrador ser promovido entre 2,00 e 2,40 anos? Ou seja, calcular P(2,00 \le X \le 2,40).

Passo 2

Método escolhido (explicação didática):
  • Quando uma variável aleatória X é normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma, para facilitar o cálculo de probabilidades transformamos X numa variável padronizada Z com média 0 e desvio padrão 1. Isso chama-se padronizar ou calcular o escore z.
  • A fórmula do escore z é
z=\frac{x-\mu}{\sigma},
onde:
  • x é o valor de interesse da variável original X;
  • \mu é a média da distribuição de X;
  • \sigma é o desvio padrão de X.
  • Depois de padronizar, usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por \Phi(z). Essa função dá a probabilidade P(Z\le z) para Z\sim N(0,1).
  • Assim, para dois valores a e b,
P(a\le X\le b)=\Phi\!\bigg(\frac{b-\mu}{\sigma}\bigg)-\Phi\!\bigg(\frac{a-\mu}{\sigma}\bigg).
  • Uma propriedade útil da normal padrão é a simetria: \Phi(-z)=1-\Phi(z). Isso simplifica cálculos quando os z são simétricos.

Passo 3

Calcular os escore z correspondentes aos extremos 2,00 e 2,40:
z_{\text{inferior}}=\frac{2,00-\mu}{\sigma}=\frac{2,00-2,20}{0,20}=\frac{-0,20}{0,20}=-1,
z_{\text{superior}}=\frac{2,40-\mu}{\sigma}=\frac{2,40-2,20}{0,20}=\frac{0,20}{0,20}=1.
Ou seja, os limites 2,00 e 2,40 correspondem a -1 e +1 desvios-padrão em relação à média.

Passo 4

Calcular a probabilidade usando a normal padrão:
P(2,00\le X\le 2,40)=P(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
Pela simetria, \Phi(-1)=1-\Phi(1). Portanto
\Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))=2\Phi(1)-1.
O valor conhecido da tabela da normal padrão é \Phi(1)\approx 0,841344746. Assim
P(2,00\le X\le 2,40)=2\cdot 0,841344746 - 1 = 0,682689492\ldots
Arredondando para quatro casas decimais fica 0,6827.

Passo 5

Interpretação e dica para a prova:
  • A probabilidade obtida é aproximadamente 0,6827, ou seja 68,27\%. Essa é exatamente a regra empírica famosa: cerca de 68\% dos valores de uma normal ficam dentro de \pm 1 desvio-padrão da média.
  • Dica rápida para prova: memorizar a regra 68\%-95\%-99{,}7\% ajuda muito (1, 2 e 3 desvios-padrão).

Resposta

0,6827 ( 68,27\%)

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