Em um experimento destinado a testar os efeitos do álcool, registraram-se os erros em um teste de habilidade visual e motora para um grupo de tratamento que bebeu etanol, e outro grupo a quem foi dado um placebo. Os resultados constam da tabela a seguir. Assuma que a variabilidade não é a mesma nos dois grupos. No nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que o grupo etanol tem maior média populacional de erros do que o grupo placebo. Esses resultados apoiam a crença geral de que a bebida é prejudicial para motoristas, pilotos, capitães de navio e outros?
Grupo Etanol Grupo placebo
n=22 n=22
barx=4,20 barx=1,71
s=2,20 s=0,72

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um experimento que compara dois grupos: um que tomou etanol e outro que tomou um placebo. Queremos saber se o grupo que tomou álcool comete mais erros em um teste de habilidade visual e motora. Para isso, vamos usar estatística de teste de hipóteses com o conteúdo de comparação de médias de dois grupos. Precisaremos das médias, desvios padrão e tamanhos das amostras de cada grupo para resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos estabelecer nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A média de erros no grupo etanol é igual ou menor que a do grupo placebo, ou seja, $ \mu_{etanol} \leq \mu_{placebo} $.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média de erros no grupo etanol é maior que a do grupo placebo, ou seja, $ \mu_{etanol} > \mu_{placebo} $.
Estamos testando se o álcool realmente aumenta a quantidade de erros.

Passo 3

Vamos calcular a estatística de teste usando o teste t de duas amostras com variâncias diferentes (também conhecido como teste t de Welch). A fórmula é:
t = barx1 - barx2raizs1^2n1 + s2^2n2
Onde:
  • $ \bar{x}_1 = 4,20 $ é a média do grupo etanol
  • $ \bar{x}_2 = 1,71 $ é a média do grupo placebo
  • $ s_1 = 2,20 $ é o desvio padrão do grupo etanol
  • $ s_2 = 0,72 $ é o desvio padrão do grupo placebo
  • $ n_1 = n_2 = 22 $ são os tamanhos das amostras
Substituindo os valores:
barx1 = 4,20

Passo 4

Agora, precisamos calcular os graus de liberdade para o teste de Welch, que considera as variâncias diferentes. A fórmula é:
df = ( s1^2n1 + s2^2n2 )^2( s1^2n1 )^2n1 - 1 + ( s2^2n2 )^2n2 - 1
Substituindo os valores:
df = ( 4,8422 + 0,5222 )^2( 4,8422 )^221 + ( 0,5222 )^221 = ( 0,22 + 0,024 )^20,048421 + 0,002721 = 0,244^20,00231 + 0,00013 = 0,05950,00244 approx 24,38
Arredondamos para $ df \approx 24 $.

Passo 5

Vamos verificar o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância $ \alpha = 0,05 $ e $ df = 24 $. Consultando a tabela t de Student, encontramos que o valor crítico é aproximadamente $ t_{crítico} = 1,711 $.

Passo 6

Comparamos nossa estatística de teste $ t \approx 5,04 $ com o valor crítico $ 1,711 $:
Como $ 5,04 > 1,711 $, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Os dados mostram que o grupo que consumiu etanol cometeu significativamente mais erros que o grupo placebo ($ t \approx 5,04 $, $ p < 0,05 $). Portanto, há evidências suficientes para apoiar a crença de que o consumo de álcool é prejudicial para motoristas, pilotos, capitães de navio e outras profissões que dependem de habilidades visuais e motoras precisas.

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