(2 pontos) O comprimento de arco de uma curva y=f(x), para x \in[a, b], é dado por s=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{d f}{d x}(x)\right)^{2}} d x. Calcule o comprimento de arco da curva y=\ln (x) para x \in[\sqrt{3}, \sqrt{8}].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y=\ln(x) no intervalo x\in[\sqrt{3},\sqrt{8}]. O conteúdo utilizado é a fórmula
s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx
e precisaremos calcular f'(x), montar o integrando, encontrar uma primitiva e avaliar entre os limites.

Passo 2

Temos f(x)=\ln(x), então
f'(x) = \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}.
Substituindo na fórmula do arco,
s = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{x}\right)^{2}}\;dx = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}\;dx.

Passo 3

Simplificando o integrando:
\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}.
Logo
s = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\;dx.

Passo 4

Uma primitiva conveniente é obtida por substituição x=\operatorname{sinh}(t), mas o resultado pode ser escrito em x como
\int \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\;dx = \sqrt{x^{2}+1} \;+\;\ln\!\Bigl(\frac{x}{1+\sqrt{x^{2}+1}}\Bigr) \;+\; C.

Passo 5

Avaliamo-la de x=\sqrt{3} a x=\sqrt{8}:
\Bigl[\sqrt{x^{2}+1}+\ln\!\bigl(\tfrac{x}{1+\sqrt{x^{2}+1}}\bigr)\Bigr]_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} = \Bigl(3+\ln\!\tfrac{2\sqrt{2}}{1+3}\Bigr) - \Bigl(2+\ln\!\tfrac{\sqrt{3}}{1+2}\Bigr).
Como \ln\!\tfrac{2\sqrt{2}}{4}=\ln\!\tfrac{\sqrt{2}}{2}=-\tfrac12\ln2 e \ln\!\tfrac{\sqrt{3}}{3}=-\tfrac12\ln3, vem
s = (3 - \tfrac12\ln2) - (2 - \tfrac12\ln3) = 1 + \tfrac12(\ln3 - \ln2) = 1 + \tfrac12\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).

Resposta

s = 1 + \frac{1}{2}\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).

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