Suponha que a média de telefonemas recebidos numa central telefônica seja 30 chamadas por hora. Se o número de chamadas durante um intervalo de tempo qualquer tem distribuição de Poisson:
(1.0) Qual a probabilidade de que não haja chamadas num intervalo de três minutos?

Passo 1

O enunciado diz que o número de chamadas recebidas numa hora segue uma distribuição de Poisson com média de 30 chamadas por hora. Queremos a probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada num intervalo de três minutos. Para isso, vamos ajustar a média ao intervalo de tempo e usar a fórmula da distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, convertemos a taxa para minutos. A média por minuto é
\lambda_{\text{min}} = \frac{30}{60} = 0,5.
Assim, em três minutos a média é
\lambda_{3\text{min}} = 0,5 \times 3 = 1,5.

Passo 3

A distribuição de Poisson dá a probabilidade de k eventos em um intervalo como
P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}.

Passo 4

Para k=0 (nenhuma chamada), isso vira
P(X=0) = \frac{\lambda_{3\text{min}}^0 e^{-\lambda_{3\text{min}}}}{0!} = e^{-\lambda_{3\text{min}}}.

Passo 5

Substituindo \lambda_{3\text{min}}=1,5, obtemos
P(X=0) = e^{-1,5} \approx 0,2231.

Resposta

A probabilidade de não haver chamadas em três minutos é \,e^{-1,5}\approx0,2231.

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