Estudos do COPOM mostram que há em média 4 chamadas por hora ao 190, da 1 às 6 da manhã em dias úteis em uma cidade do interior de um estado brasileiro. O número de chamadas pode ser aproximado por uma distribuição de Poisson. O COPOM mantém sempre três viaturas para atender as chamadas.
a) Esquematize a expressão de cálculo da probabilidade de que as três viaturas sejam insuficientes para atender as chamadas em um período de 30 minutos.
b) De acordo com a expressão da letra a, calcule a probabilidade de que as três sejam insuficientes para atender as chamadas em um período de 30 minutos? (R.: 0,14287654)
c) Dois policiais discutem sobre a carga de trabalho. Um argumenta que nos dias úteis a chance de não atender nenhuma chamada entre 1 e 3 horas é grande, enquanto o outro acha que não. Esquematize a expressão de cálculo da probabilidade que permitirá verificar qual policial está com a razão.
d) De acordo com a expressão da letra c, calcule a probabilidade que permitirá verificar quem está com a razão? (R.: 0,000335463; o policial que discorda da afirmação está com a razão)
Adaptado de STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração, São Paulo: Harper do Brasil, 1981, página 121.

Passo 1

O enunciado diz que o número de chamadas ao 190 segue uma distribuição de Poisson com taxa média de 4 chamadas por hora (das 1 h às 6 h em dias úteis) e que o COPOM usa 3 viaturas para atender. Vamos precisar da definição de Poisson e das fórmulas de probabilidade para eventos em intervalos de tempo proporcionais à taxa média.

Passo 2

Para o período de 30 minutos (metade de uma hora), a média ajustada é dada por λ₃₀ = 4 chamadas/hora × 0,5 h = 2 chamadas. Portanto, denotando N o número de chamadas em 30 min, temos:
A probabilidade de que as 3 viaturas sejam insuficientes é P(N > 3). Pela fórmula de Poisson:
P(N > 3) = 1 - sumk=0^3 e^-lambda30 lambda30^kk!
Substituindo λ₃₀ = 2, obtemos a expressão da letra a.
Agora calculamos numericamente:
P(N > 3) = 1 - l(e^-22^00! + e^-22^11! + e^-22^22! + e^-22^33!r) approx 0,14287654

Passo 3

Para o intervalo das 1 h às 3 h (2 horas), ajustamos a média: λ₂h = 4 chamadas/hora × 2 h = 8 chamadas. A probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada (N = 0) é dada por:
P(N = 0) = e^-lambda2h lambda2h^00! = e^-8
Calculando:
e^-8 approx 0,000335463
Esse valor é muito pequeno, então a chance de não atender nenhuma chamada nesse período é quase nula, o que confirma que o policial que discorda da afirmação (de que essa chance é grande) está com a razão.

Resposta

a) P(3 viaturas insuficientes em 30 min) = 1 − ∑_{k=0}^3 e{−2}2k/k!
b) ≈ 0,14287654
c) P(nenhuma chamada entre 1 h e 3 h) = e^{−8}
d) ≈ 0,000335463; o policial que discorda está com a razão.

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