O sistema de atendimento utilizado por uma central telefônica possui telefonistas para atender às chamadas dos usuários. Uma certa telefonista recebe em média 0,20 chamadas por minuto, durante um turno de trabalho de 6 horas consecutivas.
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê?
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que a telefonista receba nos primeiros 10 minutos no mínimo 5 chamadas.
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de que a telefonista receba nos primeiros 10 minutos receba no mínimo 5 chamadas? (R.: 0,0526)
d) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que a telefonista no turno completo receba no máximo 5 chamadas.
e) De acordo om a expressão da letra d, calcule a probabilidade de que a telefonista no turno completo receba no máximo 5 chamadas? (R.: aproximadamente 0,0 )
f) Qual é a média de chamadas em meia hora e em um turno completo? (R.: 6 chamadas, 72 chamadas)

Passo 1

O enunciado descreve um processo onde uma telefonista recebe em média 0,20 chamadas por minuto, durante um turno de 6 h (360 min). Vamos trabalhar com o conteúdo de processo de Poisson e a distribuição de Poisson para modelar e calcular probabilidades de número de chamadas em certos intervalos de tempo, além de usar a fórmula da média dessa distribuição.

Passo 2

Como as chegadas de chamadas são independentes, em taxa constante e sem memória do passado, o modelo teórico adequado é o processo de Poisson. Nele, o número de eventos em um intervalo de tempo de comprimento t segue a distribuição de Poisson com parâmetro lambda t, onde lambda=0,20 chamadas/minuto.

Passo 3

Para o cálculo da probabilidade de receber pelo menos 5 chamadas nos primeiros 10 minutos, primeiro encontramos o parâmetro lambda t=0,20times10=2. A expressão é:
P(N(10)>=5)=sumk=5^infty e^-22^kk!

Passo 4

Para avaliar numericamente, é mais fácil usar o complemento até 4 chamadas:
P(N(10)>=5)=1-sumk=0^4 e^-22^kk!approx1-(0,94734)=0,05266
Arredondando, obtemos 0,0526.

Passo 5

Para o turno completo de 360 min, o parâmetro é lambda t=0,20times360=72. A probabilidade de receber no máximo 5 chamadas é:
P(N(360)<=5)=sumk=0^5 e^-7272^kk!

Passo 6

Como e^-72 é extremamente pequeno, cada termo da soma fica da ordem de 10^{-30} a 10^{-25}, totalizando algo em torno de 10^{-24}, ou seja, praticamente zero.

Passo 7

A média de chamadas em qualquer intervalo é lambda t. Assim, em meia hora (30 min) temos 0,20times30=6 chamadas e no turno completo (360 min) 0,20times360=72 chamadas.

Resposta

(a) Processo de Poisson, pois chegadas independentes, taxa constante e sem memória.
(b) P(N(10)>=5)=sumk=5^infty e^-22^kk!
© 0,0526
(d) P(N(360)<=5)=sumk=0^5 e^-7272^kk!
(e) aproximadamente 0 (da ordem de 10^{-24})
(f) meia hora: 6 chamadas; turno completo: 72 chamadas

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