Uma operadora de pedágios está preocupada com o dimensionamento de uma de suas praças. Muitos motoristas estão reclamando das filas, pois há apenas duas gôndolas operando todo o tempo. Estudos mostraram que em média 4 carros chegam na praça de pedágio a cada 15 minutos.
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê?
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que mais de 2 carros cheguem à praça em 30 minutos.
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de que mais de 2 carros cheguem à praça
em 30 minutos? (R.: 0,9862)
d) Imagine que a ANTT estabelecesse que se a probabilidade de ocorrer filas na praça de pedágio em 30 minutos fosse maior do que 75 % a operadora seria multada. Com base no resultado da letra c, o que você acha que vai acontecer com a operadora? Por quê?

Passo 1

O exercício trata de um posto de pedágio em que, em média, chegam 4 carros a cada 15 minutos. Precisamos escolher o modelo teórico adequado para contar chegadas em um período, escrever a expressão para a probabilidade de mais de 2 carros chegarem em 30 min, calcular esse valor e interpretar o critério da ANTT.

Passo 2

Como as chegadas são independentes e ocorrem a uma taxa média constante no tempo, o modelo mais adequado é o processo de Poisson — ou seja, o número de ocorrências em intervalos fixos de tempo segue uma distribuição de Poisson.

Passo 3

Para usar a Poisson em 30 min, primeiro ajustamos a taxa média. Se chegam 4 carros em 15 min, em 30 min teremos lambda =4cdot(30/15)=8. A expressão para a probabilidade de mais de 2 carros é:
P(N>2)=1-sumk=0^2 e^-lambdalambda^kk!

Passo 4

Substituindo lambda=8 e somando os termos de k=0 a 2:
P(N>2)=1- e^-8l(1+8+tfrac8^22!r)=1-e^-8cdot41approx0,9862

Passo 5

A ANTT pune se a probabilidade de filas (isto é, mais de 2 carros) em 30 min for maior que 75 %. Aqui encontramos cerca de 98,62 %, bem acima do limite, logo a operadora será multada. Porque 0,9862 > 0,75.

Resposta

a) Distribuição de Poisson, pois chegadas independentes a taxa constante. b) P(N>2)=1-sumk=0^2e^-88^kk!. c) Aproximadamente 0,9862. d) Será multada, pois 0,9862>0,75.

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