E 9.4 Etilenoglicol a 90^{\circ} \mathrm{C} e 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} deve ser resfriado em um trocador de calor de tubo duplo, e para isso é usada água a 15^{\circ} \mathrm{C} e 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Assumindo que o coeficiente de transferência de calor global seja de 900 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e a área de troca térmica de 9 \mathrm{~m}^{2}, avalie as efetividades, o calor transferido e as temperaturas de saída do etilenoglicol para um trocador de tubo duplo em corrente paralela e em contracorrente. Assumir que o coeficiente global permanece constante em ambos os casos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • Etilenoglicol (fluido quente): vazão mássica \dot{m}_{h}=1\\ \mathrm{kg/s}, temperatura de entrada T_{h,i}=90^\circ\mathrm{C}.
  • Água (fluido frio): vazão mássica \dot{m}_{c}=1\\ \mathrm{kg/s}, temperatura de entrada T_{c,i}=15^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente global de transferência de calor U=900\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Área de troca térmica A=9\\ \mathrm{m^{2}}.
O que é pedido:
  • Avaliar as efetividades \varepsilon para trocador de tubo duplo em corrente paralela e em contracorrente.
  • Calor transferido \dot{Q} em cada caso.
  • Temperaturas de saída do etilenoglicol T_{h,o} em cada caso (e também das águas de saída, para checar consistência).
Observação e suposição necessária:
  • O enunciado não fornece capacidades caloríficas massivas c_p. Vou assumir valores típicos constantes:
    • c_{p,h} (etilenoglicol, líquido) =2400\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • c_{p,c} (água) =4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
      Essas são suposições razoáveis para temperatura na faixa dada; se tiver outra tabela, trocar os valores e repetir os cálculos.

Passo 2

Definir quantidades fundamentais e explicar as fórmulas que vou usar.
  1. Capacidade térmica mássica de cada corrente (explicação curta): a capacidade térmica C de uma corrente é a rapidez com que ela pode armazenar/calor por unidade de diferença de temperatura; para um fluido é
C=\dot{m}\,c_p,
onde \dot{m} é a vazão mássica (kg/s) e c_p é o calor específico (J/kg·K). Unidades de C são \mathrm{W/K}.
Cálculo:
C_h=\dot{m}_h c_{p,h}=1\cdot 2400 = 2400\\ \mathrm{W/K},
C_c=\dot{m}_c c_{p,c}=1\cdot 4180 = 4180\\ \mathrm{W/K}.
  1. Identificar C_{\min} e C_{\max}:
C_{\min}=2400\\ \mathrm{W/K},\qquad C_{\max}=4180\\ \mathrm{W/K}.
Defino a razão de capacidades
C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{2400}{4180}\approx 0,574.
  1. Definir UA e NTU. UA é simplesmente U\cdot A. O número NTU (Number of Transfer Units) é uma medida adimensional da “tamanho” do trocador em relação à capacidade térmica:
UA=U\cdot A=900\cdot 9 = 8100\\ \mathrm{W/K},
NTU=\frac{UA}{C_{\min}}=\frac{8100}{2400}=3,375.
Explicação do método de efetividade-NTU (resumida): para trocadores de calor, a efetividade \varepsilon é a razão entre o calor real transferido e o máximo calor possível se o fluido de menor capacidade trocasse até a temperatura do outro fluido de entrada. Para geometrias simples existem fórmulas fechadas que dão \varepsilon em função de NTU e C_r, diferentes para paralela e contracorrente.

Passo 3

Fórmulas de efetividade que vou usar (explicar origem de forma prática).
  • Para corrente paralela (os dois fluídos entram no mesmo extremo) a efetividade é
\varepsilon_{\text{par}}=\frac{1-\exp\big(-NTU(1+C_r)\big)}{1+C_r}.
Essa fórmula resulta da resolução analítica das equações diferenciais de balanço de energia no trocador assumindo U e c_p constantes.
  • Para contracorrente (fluxos opostos) a efetividade, quando C_r\neq 1, é
\varepsilon_{\text{ctr}}=\frac{1-\exp\big(-NTU(1-C_r)\big)}{1-C_r\exp\big(-NTU(1-C_r)\big)}.
Essa fórmula também vem da solução analítica do modelo de trocador com correntes opostas.
Vou aplicar essas fórmulas com os valores calculados em Passo 2.

Passo 4

Calcular a efetividade para corrente paralela com detalhes aritméticos.
Primeiro calcule o expoente:
-NTU(1+C_r)=-3,375\cdot(1+0,574)=-3,375\cdot 1,574=-5,31225.
Agora a exponencial:
\exp(-5,31225)\approx 0,00494.
Numerador e denominador da fórmula:
1-\exp(-NTU(1+C_r))\approx 1-0,00494=0,99506,
1+C_r=1+0,574=1,574.
Portanto
\varepsilon_{\text{par}}=\frac{0,99506}{1,574}\approx 0,6323.
Explicação curta: \varepsilon_{\text{par}}\approx 0,632 significa que o trocador transfere cerca de 63{,}2\% do calor máximo teoricamente disponível para as condições dadas.

Passo 5

Calcular a efetividade para contracorrente passo a passo.
Primeiro o fator do expoente:
-NTU(1-C_r)=-3,375\cdot(1-0,574)=-3,375\cdot 0,426=-1,4385.
A exponencial:
\exp(-1,4385)\approx 0,237.
Agora a fórmula:
\text{numerador}=1-\exp(-NTU(1-C_r))\approx 1-0,237=0,763,
\text{denominador}=1-C_r\exp(-NTU(1-C_r))\approx 1-0,574\cdot 0,237=1-0,1360=0,8640.
Logo
\varepsilon_{\text{ctr}}=\frac{0,763}{0,8640}\approx 0,8835.
Interpretação: \varepsilon_{\text{ctr}}\approx 0,884, significativamente maior que a do paralelo — é por isso que contracorrente é mais eficiente para a mesma área e U.

Passo 6

Calcular o calor transferido \dot{Q} em cada caso e explicar a fórmula usada.
A definição de efetividade dá
\dot{Q}=\varepsilon\,C_{\min}\,(T_{h,i}-T_{c,i}).
A diferença de temperatura de entrada é
T_{h,i}-T_{c,i}=90^\circ\mathrm{C}-15^\circ\mathrm{C}=75\\ \mathrm{K}.
Cálculo para paralelo:
\dot{Q}_{\text{par}}=\varepsilon_{\text{par}}\,C_{\min}\,(75) =0,6323\cdot 2400\cdot 75.
Calcule passo a passo: 2400\cdot 75=180000\\ \mathrm{W}. Então
\dot{Q}_{\text{par}}=0,6323\cdot 180000\approx 113814\\ \mathrm{W}\approx 113,8\\ \mathrm{kW}.
Cálculo para contracorrente:
\dot{Q}_{\text{ctr}}=\varepsilon_{\text{ctr}}\,C_{\min}\,(75) =0,8835\cdot 180000\approx 159030\\ \mathrm{W}\approx 159,0\\ \mathrm{kW}.
Comentário: \dot{Q}_{\text{ctr}}>\dot{Q}_{\text{par}} porque a efetividade do contracorrente é maior.

Passo 7

Calcular as temperaturas de saída usando balanços de energia e verificar consistência.
Para o fluido quente (etilenoglicol), energia perdida:
\dot{Q}=\dot{m}_h c_{p,h}\,(T_{h,i}-T_{h,o})=C_h\,(T_{h,i}-T_{h,o}).
Assim
T_{h,o}=T_{h,i}-\frac{\dot{Q}}{C_h}.
Para o fluido frio (água),
T_{c,o}=T_{c,i}+\frac{\dot{Q}}{C_c}.
Aplicar números.
Caso paralelo:
T_{h,o,\text{par}}=90^\circ\mathrm{C}-\frac{113814}{2400}=90-\;47,4225=42,5775^\circ\mathrm{C}\approx 42,58^\circ\mathrm{C},
T_{c,o,\text{par}}=15^\circ\mathrm{C}+\frac{113814}{4180}=15+\;27,231=42,231^\circ\mathrm{C}\approx 42,23^\circ\mathrm{C}.
Observação: saídas bastante próximas (esperado em paralelo).
Caso contracorrente:
T_{h,o,\text{ctr}}=90^\circ\mathrm{C}-\frac{159030}{2400}=90-\;66,2625=23,7375^\circ\mathrm{C}\approx 23,74^\circ\mathrm{C},
T_{c,o,\text{ctr}}=15^\circ\mathrm{C}+\frac{159030}{4180}=15+\;38,055\approx 53,055^\circ\mathrm{C}\approx 53,06^\circ\mathrm{C}.
Verificação rápida: em contracorrente a água sai mais quente ( \approx 53{,}06^\circ\mathrm{C}) e o etilenoglicol pode ser resfriado até cerca de 23{,}74^\circ\mathrm{C}, ou seja, a água de saída é mais quente que a saída do fluido quente? Aqui a água de saída é mais quente que a saída do etilenoglicol? Não — na verdade T_{c,o,\text{ctr}}=53{,}06^\circ\mathrm{C} e T_{h,o,\text{ctr}}=23{,}74^\circ\mathrm{C}, então a água saiu mais quente que o etilenoglicol saiu frio; isso é perfeitamente consistente com conservação de energia e com o fato de as capacidades diferentes; lembra que o fluido de menor capacidade (etilenoglicol) limita o calor, e a água tem maior capacidade, então ela pode assumir temperatura mais alta ao receber calor maior relativo à sua capacidade. (Sempre cheque sinais: aqui o calor sai do quente e entra no frio.)

Passo 8

Resumo interpretativo e dicas para prova.
  • Fórmulas principais usadas: C=\dot{m}c_p,\quad NTU=\frac{UA}{C_{\min}},\quad \dot{Q}=\varepsilon C_{\min}(T_{h,i}-T_{c,i}),com \varepsilon dada pelas fórmulas de paralela e contracorrente apresentadas.
  • Se quiser refazer com outros valores de c_p ou U basta recalcular C_{\min}, NTU e aplicar as mesmas fórmulas.
  • Regra prática: para o mesmo UA e mesmas correntes, o contracorrente sempre tem \varepsilon maior ou igual à paralela; por isso é usado quando se quer maior troca térmica com mesma área.

Resposta

\varepsilon_{\text{par}}\approx 0,6323
\varepsilon_{\text{ctr}}\approx 0,8835
\dot{Q}_{\text{par}}\approx 113814\\ \mathrm{W}\\ (\approx 113{,}8\\ \mathrm{kW})
\dot{Q}_{\text{ctr}}\approx 159030\\ \mathrm{W}\\ (\approx 159{,}0\\ \mathrm{kW})
T_{h,o,\text{par}}\approx 42{,}58^\circ\mathrm{C}
T_{h,o,\text{ctr}}\approx 23{,}74^\circ\mathrm{C}

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