Evaluate L2 e^3 t sin 4 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=2e^3tsin4t. Para isso, vamos usar a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e a propriedade de deslocamento no eixo s, além da transformada conhecida de sin(bt).

Passo 2

Escrevendo diretamente pelo integral, temos
L2e^3tsin4t(s) =2integral0^inftye^-ste^3tsin4t,dt =2integral0^inftye^-(s-3)tsin4t,dt

Passo 3

Usamos o resultado padrão
integral0^inftye^-alpha tsin(bt),dt=balpha^2+b^2,
válido para Re(alpha)>0. Aqui alpha=s-3 e b=4, logo
integral0^inftye^-(s-3)tsin4t,dt =4(s-3)^2+4^2 =4(s-3)^2+16

Passo 4

Voltando ao fator 2, multiplicamos por 2:
L2e^3tsin4t(s) =2cdot4(s-3)^2+16 =8(s-3)^2+16

Resposta

L2e^3tsin4t(s)=8(s-3)^2+16

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