Evaluate Le^-4 t cosh 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de e^-4tcosh(2t). O conteúdo envolve a definição de transformada de Laplace
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e a representação de cosh(2t) em termos de exponenciais,
cosh(2t)=e^2t+e^-2t2

Passo 2

Substituímos f(t)=e^-4tcosh(2t) na integral e usamos a definição de cosh:
Le^-4tcosh(2t) =integral0^inftye^-st,e^-4t,e^2t+e^-2t2,dt =12integral0^inftyl(e^-(s+4-2)t+e^-(s+4+2)tr),dt

Passo 3

Agora integramos cada termo exponencial separadamente. Para alpha>0 vale
integral0^inftye^-alpha t,dt=1alpha
Aqui os valores de alpha são (s+4-2)=s+2 e (s+4+2)=s+6. Logo
Le^-4tcosh(2t) =12l(1s+2+1s+6r)

Passo 4

Bastaponentermos a soma de frações sobre um denominador comum:
12l(1s+2+1s+6r) =12,(s+6)+(s+2)(s+2)(s+6) =12,2s+8(s+2)(s+6) =s+4(s+2)(s+6)

Resposta

Le^-4tcosh(2t)(s) =s+4(s+2)(s+6)

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