Evaluate L(t+2)^2 e^t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de (t+2)^2e^t. O conteúdo aqui é a propriedade de deslocamento no domínio de s para factorização exponencial e o cálculo de transformadas de polinômios básicos.

Passo 2

Usamos a propriedade de deslocamento: se Lf(t)=F(s), então
Lf(t)e^at=F(s-a)
Aqui a=1 e f(t)=(t+2)^2.

Passo 3

Primeiro calculamos
F(s)=L(t+2)^2
Expandindo
(t+2)^2=t^2+4t+4,
então, usando linearidade e as fórmulas
Lt^2=2/s^3, Lt=1/s^2, L1=1/s, temos
F(s)=2s^3+4s^2+4s

Passo 4

Pela propriedade de deslocamento com a=1, obtemos
L(t+2)^2e^t =F(s-1) =2(s-1)^3+4(s-1)^2+4(s-1),
válido para Re(s)>1.

Passo 5

Podemos também juntar tudo sobre o mesmo denominador:
2(s-1)^3+4(s-1)^2+4(s-1) =2+4(s-1)+4(s-1)^2(s-1)^3 =4s^2-4s+2(s-1)^3

Resposta

L(t+2)^2e^t =2(s-1)^3+4(s-1)^2+4(s-1) =4s^2-4s+2(s-1)^3, Re(s)>1

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