Evaluate integral0^infty t e^-3 t J0(4 t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^infty t,e^-3t,J0(4t),dt
O conteúdo principal aqui é transformada de Laplace e a propriedade de diferenciação em s para obter fatores de t.

Passo 2

Lembramos que a transformada de Laplace de J0(a t) é
LJ0(a t)(s) =integral0^inftye^-s tJ0(a t),dt =1raizs^2+a^2

Passo 3

Outra propriedade da transformada de Laplace é
Lt,f(t)(s) =-ddsl[Lf(t)(s)r]
Aplicando isso a f(t)=J0(a t), temos
integral0^inftyt,e^-s tJ0(a t),dt =-ddsl(1raizs^2+a^2r) =s(s^2+a^2)^3/2

Passo 4

Basta agora tomar s=3 e a=4:
integral0^inftyt,e^-3tJ0(4t),dt =3l(3^2+4^2r)^3/2 =325^3/2 =3125

Resposta

3125

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