Prove that
and thus obtain
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace da função de Bessel de primeira espécie
é
e em seguida usar a propriedade de escala para obter
.
Vamos usar as relações iniciais para e
, uma relação de recorrência no domínio do tempo e então um argumento por indução. Por fim aplicaremos a propriedade de escala da transformada de Laplace.
Vamos usar as relações iniciais para
Passo 2
Primeiro calculamos
. É conhecido (ou pode-se derivar via série ou integral) que
Passo 3
Em seguida usamos a relação de derivadas de Bessel
de onde
Passo 4
Para
usamos a relação de recorrência no domínio do tempo
Aplicando a transformada de Laplace e lembrando que para
;
, temos
Isolando
vem
Passo 5
Agora introduzimos a notação
e definimos
Até agora temos
e a relação de recorrência
Passo 6
Suponha, por indução, que
Então
Mas
Logo
o que completa a indução.
Passo 7
Concluímos que para todo
Passo 8
Finalmente, para obter
usamos a propriedade de escala
onde
. Tomando
e substituindo
, obtemos