Prove that LJn(t)=(raizs^2+1-s)^nraizs^2+1 and thus obtain LJn(a t).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace da função de Bessel de primeira espécie Jn(t) é
LJn(t)(s) =l(raizs^2+1-sr)^nraizs^2+1
e em seguida usar a propriedade de escala para obter LJn(a t)(s).
Vamos usar as relações iniciais para J0 e J1, uma relação de recorrência no domínio do tempo e então um argumento por indução. Por fim aplicaremos a propriedade de escala da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro calculamos LJ0(t). É conhecido (ou pode-se derivar via série ou integral) que
J0(0)=1, LJ0(t)(s)=integral0^inftye^-stJ0(t),dt=1raizs^2+1

Passo 3

Em seguida usamos a relação de derivadas de Bessel
J0'(t)=-J1(t),
de onde
LJ1(t) =-LJ0'(t) =-l[s,LJ0(t)-J0(0)r] =-l[sraizs^2+1-1r] =raizs^2+1-sraizs^2+1

Passo 4

Para n>=1 usamos a relação de recorrência no domínio do tempo
Jn-1(t)-Jn+1(t)=2,Jn'(t)
Aplicando a transformada de Laplace e lembrando que para n>0; Jn(0)=0, temos
LJn-1 -LJn+1 =2l[s,LJn-Jn(0)r] =2,s,LJn
Isolando LJn+1 vem
LJn+1 =LJn-1-2s,LJn

Passo 5

Agora introduzimos a notação
Lk(s)=LJk(t)(s),
e definimos
a = raizs^2+1-s
Até agora temos
L0=1raizs^2+1, L1=araizs^2+1,
e a relação de recorrência
Ln+1=Ln-1-2s,Ln

Passo 6

Suponha, por indução, que
Ln-1=a^,n-1raizs^2+1 e Ln=a^,nraizs^2+1
Então
Ln+1 =a^,n-1raizs^2+1 -2s;a^,nraizs^2+1 =a^,n-1raizs^2+1l(1-2s,ar)
Mas
1-2s,a =1-2sl(raizs^2+1-sr) =;1-2sraizs^2+1+2s^2 =l(raizs^2+1-sr)^2/a =;a^2/a =;a
Logo
Ln+1 =a^,n-1raizs^2+1;a =a^,n+1raizs^2+1,
o que completa a indução.

Passo 7

Concluímos que para todo n>=0
LJn(t)(s) =Ln(s) =l(raizs^2+1-sr)^nraizs^2+1

Passo 8

Finalmente, para obter LJn(a,t)(s) usamos a propriedade de escala
Lf(a t)(s) =1a,F!l(tfracsar),
onde F(s)=Lf(t)(s). Tomando
F(s)=l(raizs^2+1-sr)^nraizs^2+1
e substituindo smapsto s/a, obtemos
LJn(a t)(s) =1a, l(raiz(s/a)^2+1-s/ar)^n raiz(s/a)^2+1 =l(raizs^2+a^2-sr)^n a^,n,raizs^2+a^2

Resposta

LJn(t)(s) =l(raizs^2+1-sr)^nraizs^2+1, LJn(a t)(s) =l(raizs^2+a^2-sr)^na^n,raizs^2+a^2

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