Show that Lt J1(t)=1(s^2+1)^3 / 2.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função tJ1(t), onde J1 é a função de Bessel de primeira espécie e ordem 1. O conteúdo principal envolve transformadas de Laplace de funções de Bessel e o uso de derivação em relação a um parâmetro para facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace conhecida
LJ0(a,t)(s) =integral0^inftye^-s tJ0(a t),dt =1raizs^2+a^2,,
válida para Re(s)>0 e a>=0.

Passo 3

Observamos a identidade de derivação de Bessel em relação ao parâmetro a:
partialpartial aJ0(a t) =-,t,J1(a t)
Aplicando a transformada de Laplace e usando linearidade, obtemos
Lt,J1(a t)(s) =-partialpartial aLJ0(a t)(s)

Passo 4

Derivamos em relação a a a expressão 1raizs^2+a^2:
partialpartial al((s^2+a^2)^-1/2r) =-12(s^2+a^2)^-3/2cdot 2a =-a(s^2+a^2)^3/2
Portanto,
Lt,J1(a t)(s) =-l(-a(s^2+a^2)^3/2r) =a(s^2+a^2)^3/2

Passo 5

No nosso caso temos a=1. Logo
Lt,J1(t)(s) =1(s^2+1)^3/2

Resposta

Lt,J1(t)(s) =1(s^2+1)^3/2

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