Evaluate Le^2 t Si(t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
Le^2t,Si(t)(s)
onde Si(t)=integral0^tsin uu,du.
O conteúdo principal é:
– usar a propriedade de deslocamento no eixo s,
– conhecer LSi(t)(s),
– usar a transformada de sin t/t e a propriedade da integral de convolução ou da primitivação.

Passo 2

Primeiro, lembramos que
Si(t)=integral0^tsin uu,du
e que, em geral,
Llintegral0^tf(u),dur(s) =1s,Lf(t)(s)
Aqui f(t)=dfracsin tt. E é conhecido que
Llsin ttr(s) =arctan!l(tfrac1sr),
para Re(s)>0. Logo
LSi(t)(s) =1s,arctan!l(tfrac1sr)

Passo 3

Agora aplicamos o teorema do deslocamento: se
Lf(t)(s)=F(s), então
Le^atf(t)(s)=F(s-a)
No nosso caso a=2 e F(s)=dfrac1sarctan!l(tfrac1sr). Portanto
Le^2t,Si(t)(s) =F(s-2) =1,s-2,, arctan!l(tfrac1s-2r),
válido para Re(s-2)>0, isto é, Re(s)>2.

Resposta

boxed Le^2t,Si(t)(s) =1,s-2,,arctan!l(1s-2r), Re(s)>2

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