Prove that LJ0(a raizt)=e^-a^2 / 4 ss.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace da função ,J0(araizt) é
LJ0(araizt)(s) =integral0^inftye^-stJ0(araizt),dt =e^-a^2/(4s)s
O conteúdo principal aqui é usar a série de potências de J0(x) e a integral conhecida
integral0^inftyt^ke^-stdt=k!s^,k+1.

Passo 2

Lembramos que a expansão em série de Bessel de primeira espécie de ordem zero é
J0(x) =sumk=0^infty(-1)^k(k!)^2l(x2r)^2k
Substituindo x=araizt, obtemos
J0(araizt) =sumk=0^infty(-1)^k(k!)^2 l(araizt2r)^2k =sumk=0^infty(-1)^k(k!)^2 a^2k4^k,t^k

Passo 3

Inserindo essa série na definição da transformada de Laplace e trocando soma e integral (válido para Re(s)>0), fica
LJ0(araizt) =integral0^inftye^-stsumk=0^infty (-1)^k(k!)^2a^2k4^k,t^k,dt =sumk=0^infty(-1)^k(k!)^2a^2k4^k integral0^inftyt^ke^-stdt

Passo 4

Usamos a integral gama incompleta para obter
integral0^inftyt^ke^-stdt =k!s^,k+1
Assim cada termo da soma vira
(-1)^k(k!)^2a^2k4^k cdotk!s^,k+1 =(-1)^kk!a^2k4^k1s^,k+1 =1s,(-1)^kk! l(a^24sr)^k

Passo 5

Portanto a soma completa é
LJ0(araizt) =1ssumk=0^infty (-1)^kk!l(a^24sr)^k =1s,e^-a^2/(4s)

Resposta

LJ0(araizt)(s) =e^-a^2/(4s)s

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