Show that Lt^2 Ci(t)=ln (s^2+1)s^3-3 s^2+1s(s^2+1)^2.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de t^2,Ci(t), onde
Ci(t)=-integralt^inftycos uu,du.
Vamos usar duas ferramentas principais:
  1. A transformada de Laplace de Ci(t), que chamamos de
F(s);=;LCi(t)
  1. A propriedade de que
Lt^nf(t) ;=;(-1)^n,d^nds^n,l[Lf(t)r]
No nosso caso n=2, então
Lt^2Ci(t)=F''(s).

Passo 2

É um resultado padrão (que se obtém trocando integrais ou por tabela) que
F(s) =integral0^inftye^-st,Ci(t),dt =lnl(1+s^2r)2,s

Passo 3

Pelas regras de derivação em s, temos
Lt^2Ci(t) =F''(s) com F(s)=ln(1+s^2)2s

Passo 4

Calculemos F'(s) e F''(s) em sequência:
F'(s) =dds!l(ln(1+s^2)2sr) =-ln(1+s^2)2s^2+11+s^2,
F''(s) =dds!l(-ln(1+s^2)2s^2+11+s^2r) =-ddsl(ln(1+s^2)2s^2r) -2s(1+s^2)^2
Agora
ddsl(ln(1+s^2)2s^2r) =-ln(1+s^2)s^3+1s(1+s^2),
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F''(s) =ln(1+s^2)s^3 -1s(1+s^2) -2s(1+s^2)^2 =ln(1+s^2)s^3 -1+3s^2s,(1+s^2)^2

Resposta

Lt^2Ci(t) =lnl(s^2+1r)s^3 -3s^2+1s,l(s^2+1r)^2

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