Evaluate integral0^infty e^-4 t de<a^prime(t-2) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral envolvendo a derivada da delta de Dirac:
integral0^infty e^-4t,de<a'(t-2),dt
O conteúdo aqui é teoria de distribuições, em particular a ação de de<a'(t-a) sobre uma função teste f(t).

Passo 2

A propriedade fundamental da derivada da delta é
integral-infty^infty f(t),de<a'(t-a),dt ;=; -,f'(a)
Como nosso intervalo de integração [0,infty) contém t=2, podemos usar essa mesma relação.

Passo 3

Aqui f(t)=e^-4t. Calculamos sua derivada:
f'(t)=ddte^-4t=-4,e^-4t
Portanto,
integral0^infty e^-4t,de<a'(t-2),dt =-,f'(2) =-l(-4,e^-4cdot2r) =4,e^-8

Resposta

4,e^-8

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