Uma função f:] a, b[ R é uniformemente diferenciável se f é derivável em ] a, b[e forall varepsilon>0, exists de<a>0 tal que |x-y|<de<a e x, y in] a, b[ implica em:
|f(x)-f(y)x-y-f^prime(x)|<varepsilon
Assim:
Apresente um exemplo de uma função que é derivável, mas não é uniformemente diferenciável. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula), … :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma função que seja derivável em todo o intervalo aberto ]a, b[, mas que não seja uniformemente diferenciável. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre propriedades de funções deriváveis. Para resolver, vamos precisar entender bem o que significa ser derivável e uniformemente diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função derivável. Uma função é derivável em um ponto se ela tem uma derivada naquele ponto, ou seja, se o limite que define a derivada existe. Agora, ser uniformemente diferenciável é um pouco mais restrito: além de ser derivável em todo o intervalo, a diferença entre a taxa de variação média e a derivada no próximo ponto deve ficar menor que qualquer ε escolhido, desde que a distância entre os pontos seja menor que um δ que não depende de onde estamos no intervalo.

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma função que seja derivável em todo o intervalo aberto, mas que não seja uniformemente diferenciável. Um exemplo clássico é a função f(x) = x^2 sin(1x) para x neq 0 e f(0) = 0 . Vamos analisar essa função no intervalo ]-1, 1[ .

Passo 4

Primeiro, verificamos que a função é derivável em todo o intervalo ]-1, 1[ . A derivada de f(x) para x neq 0 é f'(x) = 2x sin(1x) - cos(1x) , e em x = 0 , a derivada também existe e é igual a 0.
Porém, agora vamos ver por que ela não é uniformemente diferenciável. Observe que, conforme x se aproxima de 0, o termo cos(1x) oscila cada vez mais rápido e não se aproxima de nenhum limite definido de forma uniforme. Isso faz com que a diferença |f(x)-f(y)x-y - f'(x)| não possa ser controlada de forma uniforme por um único δ para todos os pontos no intervalo.

Resposta

Um exemplo é a função f(x) = x^2 sin(1x) para todo x em ]-1, 1[ .

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