Evaluate each limit.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\tan \left(\frac{\pi}{3}+h\right)-\tan \left(\frac{\pi}{3}\right)}{h}=

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{h\to 0}\frac{\tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}+h\bigr)-\tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)}{h}.
Esse é exatamente o limite que define a derivada da função f(x)=\tan(x) no ponto x=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
\lim_{h\to 0}\frac{\tan\bigl(x+h\bigr)-\tan(x)}{h} =\frac{d}{dx}\tan(x).
Portanto, nosso limite será \bigl(\tan(x)\bigr)' avaliado em x=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^2(x),
pois \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} e, ao derivar pelo quociente, chega-se em \operatorname{sec}^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}.

Passo 4

Agora basta avaliar em x=\tfrac{\pi}{3}. Como
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12,
segue
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\frac{1}{\cos(\pi/3)}=2 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=2^2=4.

Resposta

\,4

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