Evaluate integral0^infty cos 6 t-cos 4 tt d t.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular o integral impróprio de 0 a ∞ de cos(6t)-cos(4t)t d t. O conteúdo envolvido é o uso de integrais paramétricas e a técnica de diferenciar sob o sinal de integral para obter a razão de logaritmos.

Passo 2

Definição de uma função auxiliar: definimos F(a) como o integral
F(a)=integral0^infty1-cos(at)t,dt
Esse integral converge porque, para tto0, o numerador se comporta como (at)^2/2 e para ttoinfty há amortecimento por oscilações.

Passo 3

Cálculo da derivada de F(a): podemos trocar derivada e integral e obter
F'(a)=integral0^inftypartialpartial al(1-cos(at)r)1t,dt =integral0^inftysin(at),dt =1a
Aqui usamos que para a>0, integral0^inftysin(at),dt=1/a.

Passo 4

Integração em relação a a: a partir de F'(a)=1/a, integramos e obtemos
F(a)=ln(a)+C,
onde C é uma constante independente de a.

Passo 5

Cálculo do integral original como diferença: note que
integral0^inftycos(6t)-cos(4t)t,dt =integral0^infty1-cos(4t)t,dt - integral0^infty1-cos(6t)t,dt =F(4)-F(6)
Substituindo o formato de F(a) cancela C e dá ln(4)-ln(6)=ln(4/6)=ln(2/3).

Resposta

lnl(tfrac23r)

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