Evaluate
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer calcular o integral impróprio de 0 a ∞ de
d
. O conteúdo envolvido é o uso de integrais paramétricas e a técnica de diferenciar sob o sinal de integral para obter a razão de logaritmos.
Passo 2
Definição de uma função auxiliar: definimos
como o integral
Esse integral converge porque, para
, o numerador se comporta como
e para
há amortecimento por oscilações.
Passo 3
Cálculo da derivada de
: podemos trocar derivada e integral e obter
Aqui usamos que para
,
.
Passo 4
Integração em relação a
: a partir de
, integramos e obtemos
onde
é uma constante independente de
.
Passo 5
Cálculo do integral original como diferença: note que
Substituindo o formato de
cancela
e dá
.