Show that integral0^infty e^-3 t-e^-6 tt d t=ln 2. [Hint. Use Problem 81.]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^inftye^-3t-e^-6tt,dt
e mostrar que ela vale ln2. O conteúdo principal aqui é a técnica de introduzir um parâmetro na integral e usar derivação em relação a esse parâmetro para achar uma expressão fechada, lembrando que
integral0^inftye^-a t,dt=1a

Passo 2

Definimos a função de parâmetro
I(a)=integral0^inftye^-a t-e^-b tt,dt,
com a>0 e b>0 fixo (no nosso caso b=6). O objetivo é achar I(a) em função de a.

Passo 3

Calculamos a derivada de I(a) em relação a a, trocando a derivada e a integral (justificável por convergência uniforme em qualquer intervalo [varepsilon,infty)):
ddaI(a) =ddaintegral0^inftye^-a t-e^-b tt,dt =integral0^inftypartialpartial al(e^-a t-e^-b tr)1t,dt =-integral0^inftye^-a t,dt =-1a

Passo 4

Integrando em a, obtemos
I(a)=-ln a + C,
onde C é uma constante de integração que independe de a. Para determinar C, basta notar que se a=b então o integrando de I(b) é zero para todo t, logo
I(b)=integral0^inftye^-b t-e^-b tt,dt=0
Substituindo na forma I(b)=-ln b+C 0=-ln b+C, ou seja C=ln b. Portanto
I(a)=ln b - ln a=ln!l(bar)

Passo 5

No problema temos a=3 e b=6. Logo
integral0^inftye^-3t-e^-6tt,dt =I(3) =ln!l(63r) =ln2

Resposta

ln2

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