Show that
. [Hint. Use Problem 81.]
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
e mostrar que ela vale
. O conteúdo principal aqui é a técnica de introduzir um parâmetro na integral e usar derivação em relação a esse parâmetro para achar uma expressão fechada, lembrando que
Passo 2
Definimos a função de parâmetro
com
e
fixo (no nosso caso
). O objetivo é achar
em função de
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
, trocando a derivada e a integral (justificável por convergência uniforme em qualquer intervalo
):
Passo 4
Integrando em
, obtemos
onde
é uma constante de integração que independe de
. Para determinar
, basta notar que se
então o integrando de
é zero para todo
, logo
Substituindo na forma
dá
, ou seja
. Portanto
Passo 5
No problema temos
e
. Logo