Show that Lcos a t-cos b tt=12 ln (s^2+b^2s^2+a^2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace da função
f(t) = cos(a t) - cos(b t)t
é
Lf(t)(s) ;=;12,ln!gl(s^2+b^2s^2+a^2gr)
O conteúdo aqui é usar a definição de transformada de Laplace e a técnica de diferenciar em relação a um parâmetro (neste caso b), trocando derivada e integral para simplificar.

Passo 2

Defina
F(b) ;=;L!lcos(a t)-cos(b t)tr(s) ;=;integral0^inftycos(a t)-cos(b t)t,e^-s t,dt
Repare que, se conseguirmos partial Fpartial b, ficará um integral mais simples.

Passo 3

Calculemos a derivada de F(b) em relação a b. Como só o termo cos(b t) depende de b, temos
partial Fpartial b =integral0^inftypartialpartial bl[-,cos(b t)tr]e^-s t,dt =integral0^inftysin(b t),e^-s t,dt

Passo 4

Reconhecemos a integral de Laplace de sin(b t):
integral0^inftysin(b t),e^-s t,dt =bs^2+b^2
Logo
partial Fpartial b =bs^2+b^2

Passo 5

Agora integramos em b de a até b:
F(b)-F(a) =integrala^bxs^2+x^2,dx =12l[ln(s^2+x^2)r]x=a^x=b =12ln!gl(s^2+b^2s^2+a^2gr)

Passo 6

Fica faltando determinar F(a). Mas se fizermos b=a na definição de F(b), o numerador cos(a t)-cos(a t) zera identicamente, logo
F(a)=0
Portanto
F(b)=12ln!gl(s^2+b^2s^2+a^2gr)

Resposta

Llcos(a t)-cos(b t)tr(s) =12,ln!gl(s^2+b^2s^2+a^2gr)

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