Show that integral0^infty sin ^2 tt^2 d t=pi2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral0^infty sin^2tt^2,dt = pi2
O conteúdo principal aqui é usar uma integração por partes para transformar essa integral numa forma conhecida, que é o integral de Dirichlet
integral0^inftysin xx,dx = pi2

Passo 2

Fazemos integração por partes em
I = integral0^infty sin^2tt^2,dt
escolhendo
u = sin^2t, dv = 1t^2,dt
Então
du = sin(2t),dt, v = -1t
A fórmula da parte por partes dá
I = lu,vr|0^infty - integral0^infty v,du = ll(-sin^2ttr)r|0^infty - integral0^inftyl(-1tr)sin(2t),dt

Passo 3

Analisamos o termo de fronteira
limttoinftysin^2tt = 0, limtto0^+sin^2tt = 0,
portanto
lu,vr|0^infty = 0
Assim fica
I = integral0^inftysin(2t)t,dt

Passo 4

Fazemos a mudança de variável x = 2t. Então dt = dx/2 e
integral0^inftysin(2t)t,dt = integral0^inftysin x,x/2,,dx2 = integral0^inftysin xx,dx

Passo 5

Usamos o resultado clássico do integral de Dirichlet:
integral0^inftysin xx,dx = pi2
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I = pi2

Resposta

integral0^infty sin^2tt^2,dt = pi2

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