Evaluate
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo envolvido é o uso de transformadas de Laplace ou diferenciação sob o sinal de integral para integrais do tipo
. Vamos usar a técnica de diferenciar em relação ao parâmetro
.
Passo 2
Começamos lembrando que para
e qualquer
vale
.
Passo 3
Usamos então o fato de que derivar em
sob o integrando traz fatores de
. Mais precisamente, para
temos
$$\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-a t}\sin(b t),dt = (-1)^{n} \frac{d{n}}{da{n}}\Bigl(\frac{b}{a{2}+b{2}}\Bigr).
$$
Passo 4
No nosso caso
,
e
. Calculamos
Passo 5
Como
, substituímos
em
:
Portanto a integral vale zero.
Resposta
0