Evaluate integral0^infty t^3 e^-t sin t d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^infty t^3 e^-t sin t,dt. O conteúdo envolvido é o uso de transformadas de Laplace ou diferenciação sob o sinal de integral para integrais do tipo integral0^infty t^n e^-a tsin(b t),dt. Vamos usar a técnica de diferenciar em relação ao parâmetro a.

Passo 2

Começamos lembrando que para Re(a)>0 e qualquer b vale integral0^infty e^-a tsin(b t),dt=ba^2+b^2.

Passo 3

Usamos então o fato de que derivar em a sob o integrando traz fatores de -t. Mais precisamente, para ninN temos
$$\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-a t}\sin(b t),dt = (-1)^{n} \frac{d{n}}{da{n}}\Bigl(\frac{b}{a{2}+b{2}}\Bigr).
$$

Passo 4

No nosso caso n=3, a=1 e b=1. Calculamos
f(a)=1a^2+1,
f'(a)=-2a(a^2+1)^2,
f''(a)=6a^2-2(a^2+1)^3,
f'''(a)=24a,(1 - a^2)(a^2+1)^4

Passo 5

Como integral0^infty t^3 e^-tsin t,dt = (-1)^3f'''(1) = -f'''(1), substituímos a=1 em f'''(a):
f'''(1)=24cdot1,(1-1)(1+1)^4=0
Portanto a integral vale zero.

Resposta

0

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